ドジソンの本棚

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ドジソンの本棚

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このブログの説明『ドジソンの本棚』

ここでは、このブログの説明と記事まとめの『まとめ』をします。

目次から好きな箇所に移動してください。

 

このブログ全体の説明やQ&A等

ありそうなQ&Aをまとめて下記事で説明しています。

ブログの説明、管理人(筆者)のこと、お問い合わせの使い方など、です。

※依頼や間違いの指摘をしたい場合は読んでください。

 

1回読めば問題ないですし、そもそも、お問い合わせを使わないなら読まなくてもOK。

そんなに重要ではないです。

 

dodgson.hatenablog.com

勉強記事まとめ

数学記事です。英語の記事もあります。

レベル的には大学数学(一部、高校数学)。

 

dodgson.hatenablog.com

 

下が、おすすめ大学数学参考書まとめです。

結構ここから買ってくれているようで、特に複素関数や洋書などが好評。

 

dodgson.hatenablog.com

 

無料ブログの始め方まとめ

これでもかというぐらい丁寧に解説しています。

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dodgson.hatenablog.com

勉強ブログの始め方まとめ

まとめ、というより、そのままですが。

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dodgson.hatenablog.com

 

仮想通貨まとめ

流行りのビットコインからメタバースまで。

筆者は仮想通貨FXなどもしていますので、興味がある人は見てください。

 

dodgson.hatenablog.com

 

ポイ活まとめ

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YouTubeまとめ

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レシート買取アプリまとめ

dodgson.hatenablog.com

 

【複素関数】(1+i)^iと(1+i)^(1+i)を求めよう


ここでは、\left( 1+i\right) ^{i}\left( 1+i\right) ^{1+i}を求めます。
高校数学(+大学の複素関数)のよい復習になるはずなので一緒にやってみましょう。

下で早速解いていくので、解ける方は先に解いておくことを勧めます。

(1+i)^i

ポイントはiを消すことです。
\left( 1+i\right) ^{i}からやってみましょう。


\left( 1+i\right) ^{i}=e^{i\log \left( 1+i\right) }なので、
i\log \left( 1+i\right)を崩す方向でいきましょう。

1+i=\sqrt{2}e^{\left( \frac{\pi }{4}+2n\pi \right) i}
なので、
\log \left( 1+i\right) =\log \sqrt{2}+\left( \dfrac{\pi }{4}+2n\pi \right) i
ですので、
i\log \left( 1+i\right) =-\left( \dfrac{\pi }{4}+2n\pi \right) +i\log \sqrt{2}
と、ここまでできます。

まだiが残っているので、続きます。

あとはe^{i\log \sqrt{2}}をどうするか、です。
復習ですが、
e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \thetaでした。

なので、この場合、
e^{i\log \sqrt{2}}=\cos \left( \log \sqrt{2}\right) +i\sin \left( \log \sqrt{2}\right)
とできます。

これでiは消えました。

よって、求める解は、

\left( 1+i\right) ^{i}=e^{-\left( \frac{\pi }{4}+2n\pi \right) }\left( \cos \left( \log \sqrt{2}\right) +i\sin \left( \log \sqrt{2}\right) \right),(n\in \mathbb{Z})

です。

(1+i)^(1+i)

\left( 1+i\right) ^{1+i}を求めてみましょう。

練習問題としますので、ここでは解のみを載せておきます。


\begin{aligned}\left( 1+i\right) ^{1+i}=e^{-\left( \frac{\pi }{4}+2n\pi \right) }\left( \cos \left( \log \sqrt{2}\right) -\sin \left( \log \sqrt{2}\right) \right) +i\left( \cos \left( \log \sqrt{2}\right) +\sin \left( \log \sqrt{2}\right) \right) \end{aligned}
,(n\in \mathbb{Z})

です。

LaTeXでやると超長くて疲れますね…!

おわりに

一度は読んでおきたい、おすすめ記事⇩
dodgson.hatenablog.com

数学記事まとめです⇩
dodgson.hatenablog.com