ドジソンの本棚

ここでは、このブログの説明と記事まとめの『まとめ』をします。

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このブログ全体の説明やQ&A等

ありそうなQ&Aをまとめて下記事で説明しています。

ブログの説明、管理人（筆者）のこと、お問い合わせの使い方など、です。

※依頼や間違いの指摘をしたい場合は読んでください。

1回読めば問題ないですし、そもそも、お問い合わせを使わないなら読まなくてもOK。

そんなに重要ではないです。

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勉強記事まとめ

数学記事です。英語の記事もあります。

レベル的には大学数学（一部、高校数学）。

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下が、おすすめ大学数学参考書まとめです。

結構ここから買ってくれているようで、特に複素関数や洋書などが好評。

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無料ブログの始め方まとめ

これでもかというぐらい丁寧に解説しています。

完全無料でブログを始めれますので、興味がある方は是非。

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勉強ブログの始め方まとめ

まとめ、というより、そのままですが。

モチベと成績UPするので一緒に始めませんか？

ついでにお小遣いを貯められます。

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仮想通貨まとめ

流行りのビットコインからメタバースまで。

筆者は仮想通貨FXなどもしていますので、興味がある人は見てください。

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ここでは、 $\left( 1+i\right) ^{i}$ と $\left( 1+i\right) ^{1+i}$ を求めます。
高校数学（＋大学の複素関数）のよい復習になるはずなので一緒にやってみましょう。

下で早速解いていくので、解ける方は先に解いておくことを勧めます。

(1+i)^i
(1+i)^(1+i)
おわりに

(1+i)^i

ポイントは $i$ を消すことです。
$\left( 1+i\right) ^{i}$ からやってみましょう。

$\left( 1+i\right) ^{i}=e^{i\log \left( 1+i\right) }$ なので、
$i\log \left( 1+i\right)$ を崩す方向でいきましょう。

$1+i=\sqrt{2}e^{\left( \frac{\pi }{4}+2n\pi \right) i}$
なので、
$\log \left( 1+i\right) =\log \sqrt{2}+\left( \dfrac{\pi }{4}+2n\pi \right) i$
ですので、
$i\log \left( 1+i\right) =-\left( \dfrac{\pi }{4}+2n\pi \right) +i\log \sqrt{2}$
と、ここまでできます。

まだ $i$ が残っているので、続きます。

あとは $e^{i\log \sqrt{2}}$ をどうするか、です。
復習ですが、
$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ でした。

なので、この場合、
$e^{i\log \sqrt{2}}=\cos \left( \log \sqrt{2}\right) +i\sin \left( \log \sqrt{2}\right)$
とできます。

これで $i$ は消えました。

よって、求める解は、

$\left( 1+i\right) ^{i}=e^{-\left( \frac{\pi }{4}+2n\pi \right) }\left( \cos \left( \log \sqrt{2}\right) +i\sin \left( \log \sqrt{2}\right) \right)$ ,( $n\in \mathbb{Z}$ )

です。

(1+i)^(1+i)

$\left( 1+i\right) ^{1+i}$ を求めてみましょう。

練習問題としますので、ここでは解のみを載せておきます。

$\begin{aligned}\left( 1+i\right) ^{1+i}=e^{-\left( \frac{\pi }{4}+2n\pi \right) }\left( \cos \left( \log \sqrt{2}\right) -\sin \left( \log \sqrt{2}\right) \right) +i\left( \cos \left( \log \sqrt{2}\right) +\sin \left( \log \sqrt{2}\right) \right) \end{aligned}$
,( $n\in \mathbb{Z}$ )

です。

※LaTeXでやると超長くて疲れますね…！

おわりに

一度は読んでおきたい、おすすめ記事⇩
dodgson.hatenablog.com

数学記事まとめです⇩

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【複素関数】(1+i)^iと(1+i)^(1+i)を求めよう

(1+i)^i

(1+i)^(1+i)

おわりに