【微分方程式500問】5,（斉次系から非斉次系）変数係数1階線形微分方程式の一般解

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前回の記事の続き。
今回から定数係数から変数係数に変わります。
ここでもやはり $e^{at}$ が鍵となります。
前回までの記事を読んできたら難なくできるはずです。
前回までの記事はここから見れます⇩
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変数係数1階線形微分方程式の一般解

斉次系から非斉次系の順に一般解を見ていきます。
例の如く一般解から元の微分方程式を取り出す（証明の逆をする）やり方をします。
※全ては一般解を覚えるため
証明したい場合は逆を辿ればOKです。

下では、斉次系→非斉次系の順に求め、
練習として最後に2問ずつ計4問解いてみましょう。（次回はこの初期値問題）

斉次系の一般解

※以下、 $c$ は任意定数。

斉次系、つまり $y'+g\left( t\right) y=0$ の一般解は
$y=ce^{-G\left( t\right) }$
である。
ただし、 $G\left( t\right)$ は $g\left( t\right)$ の原始関数。積分したもの。

これから元の微分方程式 $y'+g\left( t\right) y=0$ をゴールとしてやっていきます。
まず、一般解 $y=ce^{-G\left( t\right) }$ より $e^{G\left( t\right) }y=c$ であることがわかります。

次に両辺を微分します。
$\left( e^{G\left( t\right) }y\right) '=0$
ですね。
これは $e^{G\left( t\right) }y'+e^{G\left( t\right) }g\left( t\right) y=0$ とできます。

あとは $e^{G\left( t\right) }$ で割れば $y'+g\left( t\right) y=0$ と求まります。
終わり。簡単ですね。

非斉次系の一般解

※以下、 $c$ は任意定数。

非斉次系、つまり $y'+g\left( t\right) y=f\left( t\right)$ の一般解は
$\displaystyle y=\left( \int f\left( x\right) e^{G\left( t\right) }dt+c\right) e^{-G\left( t\right) }$
である。
ただし、 $G\left( t\right)$ は $g\left( t\right)$ の原始関数。積分したもの。

ここでも同じく、元の微分方程式 $y'+g\left( t\right) y=f\left( t\right)$ をゴールとしてやっていきます。
まず、一般解 $\displaystyle y=\left( \int f\left( x\right) e^{G\left( t\right) }dt+c\right) e^{-G\left( t\right) }$ より
$\displaystyle e^{G\left( t\right) }y= \int f\left( x\right) e^{G\left( t\right) }dt+c$
であることがわかります。

次に両辺を微分します。
$\left( e^{G\left( t\right) }y\right) '=f\left( x\right) e^{G\left( t\right) }$
ですね。
これは $e^{G\left( t\right) }y'+e^{G\left( t\right) }g\left( t\right) y=f\left( x\right) e^{G\left( t\right) }$ とできます。