【確率論】条件付き確率から全確率の公式,ベイズの公式へ

ここでは、条件付き確率と全確率の公式,ベイズの公式について確認し、証明します。
動画でも解説しますので、よければそちらも見てください。

動画で解説（YouTube）
条件付き確率
- 例
全確率の公式
ベイズの公式
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条件付き確率

事象 $B$ が起こった時の事象 $A$ の確率を
$P\left( A| B\right) =\dfrac{P\left( A\cap B\right) }{P\left( B\right) }$
とし、
これを『条件付き確率』といいます。

例

例で条件付き確率を確認してみましょう。

コイン（10円玉）を2回投げるとします。
$A=\left\{ 1回目で表が出る\right\}$
$B=\left\{ 2回目で裏が出る\right\}$
とすると、

$B=\left\{ (表,裏),(裏,裏)\right\}$
$A\cap B=\left\{ \left( 表,裏\right) \right\}$
より、
$P\left( B\right) =\dfrac{2}{4},P\left( A\cap B\right) =\dfrac{1}{4}$
となる。

よって、2回目が裏であったとき、
1回目が表である条件付き確率は、
$P\left( A| B\right) =\dfrac{1}{2}$
と求まります。

全確率の公式

$\displaystyle\Omega =\bigcup ^{n}_{i=1}B_{i}$ , $B_{i}\cap B_{j}=\emptyset ( i\neq j)$
であるとき、任意の事象 $A$ に対して、次のようにできます。

$\begin{aligned}P\left( A\right) &=P\left( A\cap \Omega \right)& \\ &=P\left( \bigcup ^{n}_{i=1}\left( A\cap B_{i}\right) \right)& \\ &=\sum ^{n}_{i=1}P\left( A\cap B_{i}\right)& \\&\overset{①}=\sum ^{n}_{i=1}P\left( A| B_{i}\right) P\left( B_{i}\right) &\end{aligned}$