【高校・大学数学】極限の問題練習#3

ここでは、極限の問題練習をします。
動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。

問題
動画解説（YouTube）
解き方
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問題

$\displaystyle\lim _{x\rightarrow +0}\left( \tan x\right) ^{\sin x}$ を求めよう。

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解き方

前までの復習でもあります。
次のように置き換えましょう。

$\left( \tan x\right) ^{\sin x}=\left( \left( \tan x\right) ^{\tan x}\right) ^{\cos x}$

です。
ここで、
$\cos x=\dfrac{1}{\sqrt{1+\tan ^{2}x}}$
であることに注意しましょう。

すると、
$\tan x=y$ とおけば、

$\displaystyle\lim _{x\rightarrow +0}\left( \left( \tan x\right) ^{\tan x}\right) ^{\cos x}=\lim _{y\rightarrow +0}\left( y^{y}\right) ^{\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}}$

とできます。

$\lim _{y\rightarrow +0}y^{y}=1$
でしたので、結果、
$\displaystyle \lim _{x\rightarrow +0}\left( \left( \tan x\right) ^{\tan x}\right) ^{\cos x}=1$
より、
$\displaystyle\lim _{x\rightarrow +0}\left( \tan x\right) ^{\sin x}=1$
です。