ドジソンの本棚

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解析学

【すぐ使える】極座標変換でe^(-x^2)ガウス積分について覚えてしまおう【重積分】

はじめに※間違い、ご指摘などがあれば(https://twitter.com/Dodgson_007)のDMにご連絡ください。 お問い合わせフォームからもどうぞ(https://dodgson.hatenablog.com/about) 解き方 あまりにも有名なので、『できるだけ短く』を意識して進めていきます。…

簡単!極限の計算『lim[x→+0]x^xは?』【ロピタルの定理】

はじめに この記事では『』の求め方を解説します。 ロピタルの定理、第一回目になります。 この続きの問もありますので、見終わったら記事の一番下から次に進んでください。 極限の計算『は?』 を求める。とおくとである。ここで、とおけば、のときで、(※最…

【簡単】ガウス関数のフーリエ変換を計算してみよう

はじめに≫数学記事まとめはこちら!確認しよう!今回、ガウス関数の積分を使用する。前回の記事の続きになるわけだが、もしまだ見てないならそちらから見ておくことを勧める。dodgson.hatenablog.com↑先に見ておこう。ガウス関数のフーリエ変換ガウス関数、…

【ε-δ】合成関数の連続性の証明(難)

はじめに ここでは合成関数の連続性の証明をします。 前回の記事の続きなので、まだならそちらからどうぞ。 dodgson.hatenablog.com ※今回は少し難易度高めです。 合成関数の連続性の証明をする前に確認 合成関数の連続性ということで、 がで連続 がで連続 …

【ε-N論法①】極限の一意性の証明 ~数列とその極限~

はじめに ここでは【ε-N論法】極限の一意性の証明をします。 証明したいもの《極限の一意性》 では早速証明を始めよう。 ※スマホから見ている人は横スクロールしながら読み進めていってほしい。 ・数列が収束すれば、その極限は一つである。《極限の一意性》…

【ε-N論法②】はさみうちの原理の証明~数列とその極限~

はじめに ここでは【ε-N論法】はさみうちの原理の証明をします。 前回↓の続きです。まだ見てない方は①からどうぞ。 dodgson.hatenablog.com 証明 ・に対し、を満たし、 ,ならば、である。 この証明だ。 準備:まず示したいのは、 ]である。 このように方針を…

【ε-N論法③】簡単!収束する数列は有界であることの証明

はじめに ここでは【ε-N論法】収束する数列は有界であることの証明をします。 収束する数列は有界であることの証明 より、 が成立する。 とおくと、 となる。 (※スマホは横にスクロール↓) とおくと、 となるので有界。 結論:収束する数列は有界。 以上。 …

【弧長】カテナリー(懸垂線)とアステロイド(星芒形)の曲線の長さを求める

はじめに この記事ではカテナリー(懸垂線)とアステロイド(星芒形)の曲線の長さを求めます。 【弧長】カテナリー(懸垂線)とアステロイド(星芒形)の曲線の長さを求める 弧長の長さを求める。 弧長: 図は以下を参照。 ※左の端点はで、右の端点は。。 …

【2通り】シュワルツ(Schwarz)の不等式の証明

ここではシュワルツの不等式の証明をします。 動画でも解説していますので、よければそちらも見てください。 シュワルツの不等式 動画で解説(YouTube) 証明1 証明2 大学生必見! おわりに&おすすめ シュワルツの不等式 をシュワルツの不等式と言います…

【高校・大学数学】x^(logx)の微分方法(対数微分法)

ここでは、を微分するとどうなるか確認します。 問題 解き方 大学生必見! おわりに&おすすめ 問題 を微分しよう。 解き方 対数微分法を使います。とおきます。次に対数を取ります。 両辺を微分します。 両辺にを掛け、元に戻します。 よって求める答えは、…

x/√(x^2+1)の積分【置換積分】

はじめに 解 大学生必見! おわりに&おすすめ ≫数学記事まとめはこちら はじめに ここではの積分を解く。 高校生でもできるので挑戦してみよう。 解 を求めたい。とおくと、 つまり、である。よって、(※スマホは右にスクロールして見よう) おわり。 すご…

【積分公式】f'(x)/f(x)の積分がlog|f(x)|になることの証明

はじめに 証明 大学生必見! おすすめ記事 ≫数学記事まとめはこちら はじめに ここでは、となることの証明をします。 言うまでも無いですが、は任意定数です。 レベルとしては高校数学。 なので、大学生は復習でやってみよう。証明は意外とできない人も多い…

【確認用】tanxの積分と解き方解説(簡単です)

はじめに ここではの積分をします。 確認までに、前回、積分公式の一つを解説した。 今回はこれを使うので、まだ見ていないなら先にどうぞ。 dodgson.hatenablog.com の積分 早速やっていく。まず、 これを①とする。※証明は前回の記事。であるので、とおくと…

(解き方解説)xlogxの積分【部分積分】

はじめに の積分 大学生必見! おわりに&おすすめ はじめに ここではの積分をする。 の積分 が邪魔なので 部分積分において とすればよい。よって、 おわり。 大学生必見! おすすめ紹介!大学生の皆さん必見! 教科書や参考書、日用品の買い物は ハピタス…

sin^-1xとcos^-1xの積分(ArcsinxとArccosx)【部分積分】

はじめに ここではとの積分をする。 ついでに次の記事での積分もするので、よければそちらもどうぞ。 との積分 と置くと、 よって、部分積分をして と置くと、より なので、 (スマホは右にscroll) したがって の方はこれで終わり。 の場合もやり方は同じで…

tan^-1x(Arctanx)の積分【部分積分】

はじめに ここではの積分をする。 前回の続きで、まだの方はそちらから見てほしい。 dodgson.hatenablog.com ↑この記事です。 の積分 前回の の積分のやり方と基本同じなので、一部省略する。とおくと、 なので、部分積分をしておわり。前回の記事見ていれば…

【置換積分】1/sinxと1/cosxの積分【ワイエルシュトラス置換の使い道】

はじめに ここではとの積分をする。 逆数の方であって、逆関数とは違うので注意。(ややこしい) 逆関数の方は下の記事でやったので、ついでに見ておこう。 dodgson.hatenablog.com との積分 置換積分の方でやります。 他にもやり方はありますが、計算がしん…

【簡単】cos^3とsin^3から三倍角の公式を求める(加法定理なし)

はじめに 使う公式 三倍角の公式を求める 大学生必見! おすすめ記事 はじめに ここではと、それぞれから三倍角の公式を導くやり方を解説します。 加法定理なしで求めてみるので、加法定理を忘れた場合でもOKです。 使う公式 オイラーの公式 です。 『はじめ…

【簡単】ド・モアブルの定理と数学的帰納法による証明

はじめに ド・モアブルの定理とは? 数学的帰納法での証明 大学生必見! おすすめ記事 はじめに ここでは、ド・モアブルの定理(公式)の数学的帰納法の証明をします。 ※スマホから見ている場合は、長い数式は横にスライドして見ることができます。 ド・モア…

シュワルツの不等式(積分)の証明(覚えるべき)

ここでは、シュワルツの不等式(積分)の証明をする。≫数学記事まとめはこちら シュワルツの不等式とは?(積分) でが連続であるとき 上の不等式である。見るだけでめんどうな気がしてならない不等式だが、証明せよと言われたら難しい。自力で考えていって…

【ε-δ】関数の連続性(sinxの連続を証明する)

はじめに ここでは関数の連続性、\( \sin x\)の連続を証明します。 関数の連続性の確認 \(f(x)\)が\(x=a\)で連続であるとする。(\(a \in I\)) つまり、\(\displaystyle\lim _{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)\)が成立する。これは、 \(…

【不等式の証明】1-(x^2)/2<cos x <1-(x^2)/2+(x^4)/24,(x≠0)

ここでは、不等式の問題練習をします。 動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。【問題】 を示せ。ただし、とする。 動画解説(YouTube) 解説 紹介 おわりに&おすすめ 動画解説(YouTube) 準備中…※よければチャンネル登録お願いします…

【指数関数・対数関数】2^30の桁数の求め方と常用対数【その他:(0.2)^30について調べる】

ここでは、指数関数・対数関数の問題練習をします。 動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。【問題】 ①の桁数を求めましょう。 ②は小数第何位に初めて0でない数となるか求めましょう。 ただし、とします。【追記】常用対数の練習となりま…

【指数関数・対数関数】大小関係を考える問題を解こう

ここでは、指数関数・対数関数の問題練習をします。 動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。 問題 動画解説(YouTube) 解答 紹介 おわりに&おすすめ 問題 の大小関係を調べましょう。 動画解説(YouTube) youtu.be※よければチャンネル…

【ε-N論法&ε-δ論法#1】数列の極限(問題練習,極限の一意性&はさみうち等)

ここでは、ε-N論法&ε-δ論法の数列の極限に関する確認をする。 数列の収束と発散 全称記号と存在記号について 例:はさみうちの原理 証明 よく見る例で練習 証明① 証明② 証明③ 極限の一意性 証明 大学生必見! おわりに&おすすめ 数列の収束と発散 を数列と…

【高校大学数学】lim[x→0]sinx/x=1の求め方、証明方法【極限#2】

ここでは、極限の問題練習をします。 動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。 問題 動画解説(YouTube) 解き方 紹介 おわりに&おすすめ 問題 を求めよう。 動画解説(YouTube) youtu.be※よければチャンネル登録お願いします。チャンネ…

【解析学】極限を求める面白い問題と解答解説#1(高校・大学数学)

ここでは、極限の問題練習をします。 動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。 問題 動画解説(YouTube) 解答解説 ロピタルの定理の話 紹介 おわりに&おすすめ 問題 を求めよう。 動画解説(YouTube) youtu.be※よければチャンネル登録…

【解析学】cot^3(コタンジェント三乗)の工夫をした積分方法

ここでは、積分の問題練習をします。 動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。 問題 動画解説(YouTube) 解き方 紹介 おわりに&おすすめ 問題 を求めよう。 動画解説(YouTube) youtu.be※よければチャンネル登録お願いします。チャンネ…

【数列の極限】有名な問題練習+解答付き#4(大学数学|解析学)

ここでは、極限の問題練習をします。 動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。 問題 動画解説(YouTube) 解き方 紹介 おわりに&おすすめ 問題 のとき、 を求めよう。 動画解説(YouTube) - YouTube※よければチャンネル登録お願いします…

【数列の極限】有名な問題練習+解答付き#3(大学数学|解析学)

ここでは、極限の問題練習をします。 動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。 問題 動画解説(YouTube) 解き方 紹介 おわりに&おすすめ 問題 を求めよう。 動画解説(YouTube) - YouTube※よければチャンネル登録お願いします。チャン…