【ε-δ】合成関数の連続性の証明（難）

はじめに

ここでは合成関数の連続性の証明をします。
前回の記事の続きなので、まだならそちらからどうぞ。
dodgson.hatenablog.com
※今回は少し難易度高めです。

合成関数の連続性の証明をする前に確認

合成関数の連続性ということで、
$y=f(x)$ が $x=a$ で連続
$z=g(x)$ が $y=f(a)$ で連続
この条件が与えられ、
そのうえで、合成関数 $g\circ f\left( x\right)$ は $x=a\$ で連続を示したいわけです。

証明

※スマホの場合、数式を横にscrollして見よう。PCはそのままでOK。

$z=g(y)$ が $y=f(a)$ で連続より、

$\forall \varepsilon > 0\exists \eta >0( \left| y-f\left( a\right) \right| < \eta \Rightarrow \left| g\left( y\right) -g\left( f\left( a\right) \right) \right| < \varepsilon )$

が成立する。

また、 $y=f(x)$ が $x=a$ で連続より、上の $\eta >0$ において

$\forall \eta >0\exists \delta >0( \left| x-a\right| <\delta \Rightarrow \left| f\left( x\right) -f\left( a\right) \right| < \eta )$

が成立する。

よって、

$\forall \varepsilon >0\exists \delta >0( \left| x-a\right| <\delta \Rightarrow \left| g\circ f\left( x\right) -g\circ f\left( a\right) \right| < \varepsilon )$

が成立するので示せた。

おわり。

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