【正則行列】行列の転置とその逆行列は？証明付き

ここでは正則行列で転置、その逆行列について確認します。証明付きです。
※スマホから見ている場合は、長い数式は横にスライドして見ることができます。

正則行列ならば転置も正則である。
まずはこれを示そう。

正則行列を $A$ とすると
逆行列が存在し、
$AA^{-1}=A^{-1}A=E$ が成立する。
念のためにいっておくと $E$ は単位行列。

両辺を転置させると、
$\left( AA^{-1}\right) ^{T}=\left( A^{-1}A\right) ^{T}=E^{T}$
となる。

転置行列の性質より、上式は、
$\left( A^{-1}\right) ^{T}A^{T}=A^{T}\left( A^{-1}\right) ^{T}=E$
と表される。
ここで、単位行列の転置は単位行列になるので、
$E^{T}=E$ とした。

よって、転置しても正則となる。

上式の $A^{T}$ に注目してみると、
$\left( A^{-1}\right) ^{T}=\left( A^{T}\right) ^{-1}$
であることがわかる。
よって、正則なら、逆行列と転置の入れ替え可能となることがわかった。

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