こんにちはドジソンです。
今回は大学二年から四年の間に読んでおきたい洋書（数学）を紹介します。
高校生から大学一年の方は下の記事からどうぞ。
dodgson.hatenablog.com
解析
この本は、大学数学の解析の基礎をしっかりと学びたい大学生や大学院生にとって、最適なテキストです。
実数体や複素数体の性質から始まり、位相空間、数列と級数、連続性、微分積分、関数列と級数、特殊関数、多変数関数、微分形式の積分、ルベーグ積分など、数学解析の重要なトピックを網羅しています。
各章の最後には豊富な演習問題があり、自分の理解度を確認することができます。
高度な数学を扱うために必要な厳密な論理と洗練された技法を身につけるという意味でもおすすめです。
位相
この本は、集合・位相の教科書として有名で、数学の専門家だけでなく、経済学や物理学などの応用分野にも興味のある人におすすめです。
著者のJames Munkresは、MITの数学教授で、代数トポロジーや微分幾何学などの分野で多くの業績を残しています。
また、彼の豊富な経験と知識をもとに、集合・位相の基本的な概念や定理をわかりやすく解説しています。
抽象的な理論だけでなく、実際の関数や空間への応用例もたくさん紹介されており、イメージ図も豊富に掲載されています。
この本を読めば、集合・位相の魅力や奥深さを感じることができるでしょう。
複素解析
複素解析の基礎から応用までを網羅した優れた教科書です。
著者は、数学の歴史や哲学にも精通しており、本書では、複素解析の発展に関わった人物や思想にも触れています。
この本は、複素数平面やコーシーの積分定理、留数定理などの重要な概念を、豊富な例題や図解で分かりやすく説明しています。
また、リーマン面や特殊関数、調和関数などの応用分野にも深く入り込み、複素解析の魅力を存分に味わえます。
複素解析を学ぶ学生や研究者にとって、必須となるおすすめの一冊ですね。
幾何学
この本は、一般的な位相空間から始めて、微分可能多様体、ホモロジー群、ホモトピー群、双対性、コホモロジー群、積と双対性、ホモトピー理論というトピックをカバーしています。
著者は、MATHEMATICAL REVIEWSで「興味深くて独創的なトポロジーと幾何学の大学院レベルの教科書」と評されたこの本で、伝統的には扱われないような革新的な内容も取り入れています。
代数
この本は、高度な代数学の概念を包括的で現代的な方法で紹介しています。
著者はこの分野の第一人者の一人であり、読者を最新の研究の最前線に導き、これまでに発表されたことのない素材も含めています。
群、環、体という代数学の基本的な構造を詳しく説明し、多項式や有限体、ガロア理論などの重要なトピックも取り上げています。
各章には演習問題が用意されており、自己学習や高レベルの学部生向けのコースの基礎として最適です。
測度・ルベーグ積分
この本は、数学の基礎と応用を両方カバーした優れた教科書です。
実解析と複素解析の両方について、厳密で洗練された証明と豊富な例題を提供しています。
また、測度論や関数解析などの高度なトピックも取り上げています。
この本は、数学の専門家や学生にとって、必読の一冊です。筆者もこれで勉強しました。
確率論
この本は、マルチンゲール理論を中心に、確率測度や条件付き期待値などの重要な概念をわかりやすく説明しています。
また、数学的な厳密さと直感的な理解のバランスがとれており、例題や演習問題も豊富に用意されています。
この本を読めば、確率論の魅力と奥深さを感じることができるでしょう。
※昔（数年前）、筆者も確率論の先生に勧められて読みました。良い本ですが、中々に時間が掛かります。
フーリエ解析
数学解析の核心的な分野を紹介する4巻のシリーズの第1巻です。
この本では、物理科学の問題を研究していたフーリエが19世紀初頭に発見した単純な考えから出発します。
※任意の関数は最も基本的な三角関数の無限級数として書くことができるという考えです。
第1部では、この考えをフーリエ級数の収束性や可和性という概念を用いて実現し、等周不等式や等分布などの応用例を紹介します。
第2部では、フーリエ変換とその古典的な偏微分方程式やラドン変換への応用について扱います。
技術的な困難を避けるために、主題への明確な導入を行っています。
最後は、有限アーベル群上のフーリエ理論で締めくくる形となっています。
