即解決！大学数学まとめ【院試まで使える】

はじめに

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このサイトで大学数学を勉強できます。

ちょっとした疑問は3分もあれば解決。

上手く活用してください。

★PC向けサイトですがスマホにも対応させています。

使い方としては、調べもの程度ならスマホ、がっつり勉強したいならPCからを勧めます。

本記事の説明

実際に見たらわかりますが

このブログで書いてきた数学記事の全て、

つまり

大学数学の記事まとめになっています（所謂、目次）。

※高校生でも わかる記事もありますので予習としても使えますよ。

注意点で、

教科書・参考書通りの順に並んでいませんので、（ある程度は揃えてますが）

自分で『探したい、あるいは興味のある』記事を見つけてください。

ただ、どれも勉強になるので全部通して見てくれてもいいんですよ|･ω･*)ﾁﾗ

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重要！

どの記事も院試対策を意識して作成しているので、 大学院進学を考えているなら全て見るべきです。
基本から応用まで扱っているので、対策としてフル活用しましょう！！

◆大学生の方へ◆

就活情報はチェックしておきましょう。僕も使ってます。
ベネッセの成長支援型逆求人就活サービス【dodaキャンパス】

～今後の予定～

まだ出来立てほやほやのサイトですので記事の数は少ないです。

時間があれば、幾何学、ルベーグ積分、関数解析、フーリエ解析、偏微分方程式、ベクトル解析の記事も書きます。

ただ、『モチベ』＝『記事のＰＶ』なので、「早く記事書けよ！」という方はＰＶアップのため、記事を全部見てください。

・…（このサイト），★…外部サイト『数学の島』2号店

どちらもおすすめです。

院試対策問題集

院試対策に使ってください。問の順はランダムなので実践にもOKです

⇩院試対策問題集⇩

・【院試数学】複数回でロピタルの定理を使う問題

解析学（主に微積）

微積を中心に集めた。少しだが、その他も混ざっている。

⇩高校数学の復習（大学の基礎レベル）⇩

・a^xの微分の求め方二つ（一回見るだけでよし）

・【簡単】cos^3とsin^3から三倍角の公式を求める（加法定理なし）

・【簡単】ド・モアブルの定理と数学的帰納法による証明

・x/√(x^2+1)の積分【置換積分】

・【積分公式】f'(x)/f(x)の積分がlog|f(x)|になることの証明

・tanxの積分

・xlogxの積分【部分積分】

・sin^-1xとcos^-1xの積分（ArcsinxとArccosx）【部分積分】

・tan^-1x(Arctanx)の積分【部分積分】

・【置換積分】1/sinxと1/cosxの積分【ワイエルシュトラス置換の使い道】

・シュワルツの不等式（積分）の証明（覚えるべき）

・【複素関数】複素数z（共役複素数あり）とグラフの調べ方（高校数学）

・【複素関数】(1+i)^iと(1+i)^(1+i)を求めよう

・…

⇩大学の範囲⇩

・アルキメデスの原理（性質）と稠密性【大学数学】＆英語あり

・ガウス記号とは？一意性の証明も（n≦a＜n+1）【大学数学】

・【ε-N論法①】極限の一意性の証明 ～数列とその極限～

・【ε-N論法②】はさみうちの原理の証明～数列とその極限～

・【ε-N論法③】簡単！収束する数列は有界であることの証明

・簡単！極限の計算『lim[x→+0]x^xは？』【ロピタルの定理】

・【初級】例題で学ぶロピタルの定理～(1/x)^xの極限（高校,大学）～

・【弧長】カテナリー（懸垂線）とアステロイド（星芒形）の曲線の長さを求める

・【ε-δ】関数の連続性（sinxの連続を証明する）

・【ε-δ】合成関数の連続性の証明（難）

・【ε-δ論法】超簡単！極限の一意性の証明（複素関数版）

・【簡単】絶対収束とコーシー列（収束することの証明）

・コーシー列と収束の関係＆バナッハ空間

・【関数解析】ノルム空間Xにおいてコンパクトならば完備であること

・有界と絶対収束ならば絶対収束する（証明付き）

・自然数の底（ネイピア数e）と極限の応用例①【高校・大学数学】

・【すぐ使える】極座標変換でe^(-x^2)ガウス積分について覚えてしまおう【重積分】

・【超簡単】ガウス関数の積分の計算の流れを覚えてしまおう

・【簡単】ガウス関数のフーリエ変換を計算してみよう

・【例題①】重積分の変数変換『sin(x+y)』はどうなるか？

・【例題②】重積分の累次積分の計算方法と例題（解析学）

・…

線形代数

院試対策を意識しているので、レベル高め。

基本的なことは記事内で紹介している本で勉強してほしい。

★おすすめ勉強法★
【爆速】線形代数の効率のよい勉強法（院試まで対応）｜ドジソン｜note

【初学者向け】数学科が勧める線形代数の演習＆参考書（厳選三冊）

⇩線形代数の記事を開く⇩

・【線形代数】『交代行列の対角成分は０』を示す

★【線形代数】交代行列の定義と性質（例題付き）『対角成分は０等』

・【正則行列】行列の転置とその逆行列は？証明付き

・【線形代数】行列のn乗のよく使う例（3×3の場合）【対角行列のn乗その他】

・【線形代数】行列のトレースを使った証明（AB=BA）

・【線形代数】複素共役行列と随伴行列の性質【例題付き】

・【線形代数】エルミート行列の対角成分は実数であることを示す

★【正則行列】行列式と逆行列の関係『|A^-1|=|A|^-1』

★【院試対策・易】文字入りで逆行列を求める（3×3＆正則）

★一次従属ならば、また一次従属になる例と証明

★一次独立ならば、また一次独立となる例と証明

★一次独立ならば基底であることを示す【線形代数】

・【線形代数】表現行列の簡単な求め方（例題付き）

・【固有値】（正方行列）A^2=AとA^3=Aの場合を考える。（線形代数）

・【線形代数】簡単！一次独立（線形独立）をランク（階数）から調べる方法

・【線形代数】行列（文字入り）の階数（ランク）の求め方を例題で学ぶ

・【線形代数】簡単！二次の直交行列の求め方（問：全て求めよ）

・【線形代数】（例題）連立一次方程式の解と次元の求め方

・ケーリー・ハミルトンの定理の使い方と応用例

・【線形代数】即解決！ケーリー・ハミルトンの定理を例題で確認しよう

・【線形代数】超便利！例題からフロベニウスの定理を使いこなす！

・…

集合位相

院試を意識し、位相を多めにする。

集合については各自でやってほしいが、

ルベーグ積分の記事で測度論を扱う時に集合の記事もついでに書ければよいと思っている。

⇩集合位相の記事を開く⇩

・【大学数学】集合の族におけるド・モルガンの法則の証明

・【集合】逆写像と逆像の違いをはっきりしておく

◎Definition of inverse mapping【数学英語翻訳】集合：逆写像

・【集合と位相】可算無限集合と集合の濃度を理解する

・可算の濃度（アレフゼロ）が最小の無限濃度となることの証明

・【集合位相】（証明）自然数Nと整数Zの濃度は等しい（可算集合である）

・【位相空間】内部と閉包とは？証明＆例題付きで説明

・密着位相が距離付け可能とならないことの証明（位相空間）

・【位相空間】連結と弧状連結とは（中間値の定理まで）

・【集合・位相】ハイネ・ボレルの被覆定理～コンパクトと有界閉集合～

・【集合位相】被覆と開被覆の定義を確認しよう

・【関数解析】ノルム空間Xにおいてコンパクトならば完備であること

・…

微分方程式

最終的に確率微分方程式まで行きたいと思っている。

が、現在他の記事を書くので忙しく、時間が掛かるかも。

⇩微分方程式の記事を開く⇩

・【微分方程式】簡単！直接積分形の一般解と特殊解を例題で理解できる

・【微分方程式】例題（初級）で変数分離形の解き方を知ろう（一般解と特異解）

・【微分方程式】簡単！例題（中級）で変数分離形の問題に慣れよう

・【微分方程式】（上級）例題で慣れる同次形の微分方程式

・【微分方程式】一階線形微分方程式(応用問題の解き方＆例題)《一般解のみ》

・【微分方程式】ベルヌーイの微分方程式の解法を例題で学ぶ

・…

⇩微分方程式500問演習を開く⇩

・【微分方程式500問】1,定数係数一階線形常微分方程式（問題付き）

・【微分方程式500問】2,初期値問題《定数係数一階線形常微分方程式》（問題付き）

・【微分方程式500問】3,非斉次系の一般解の覚え方（問題付き）

・【微分方程式500問】4,初期値問題（非斉次系）（問題付き）

・【微分方程式500問】5,（斉次系から非斉次系）変数係数1階線形微分方程式の一般解

・【微分方程式500問】6,（初期値問題）変数係数1階線形微分方程式

・【微分方程式500問】7,未定係数法と特解（多項式）

・【微分方程式500問】8,未定係数法と特解（sin&cos)

・【微分方程式500問】9,未定係数法と特解（指数関数｜e）

・【微分方程式500問】10,初期値問題と未定係数法と特解（複数組み合わせ型）

・【微分方程式500問】11,変数分離形と初期値問題

・【微分方程式500問】12,変数分離形の特殊な例（問題練習）

・(55/500)…

複素関数

院試を意識した記事が多くなっている。

留数定理については多めに記事を書くつもり。

☆必見！【厳選四冊】数学科が勧める複素関数の参考書【複素解析】

⇩複素関数の記事を開く⇩

・【複素関数】複素数z（共役複素数あり）とグラフの調べ方（高校数学）

・【複素関数】双曲線関数（余弦,正弦）と逆関数＆微分について

・【複素関数】(1+i)^iと(1+i)^(1+i)を求めよう

・【複素解析】複素関数の積分（1/z）型を例題で練習しよう

・【ε-δ論法】超簡単！極限の一意性の証明（複素関数版）

・（例あり）コーシー・リーマンの方程式と微分可能性と正則性

・【複素解析】（難）コーシー列で複素積分を使う例と証明

・【複素解析】除去可能特異点と積分で使う分だけ解説

・複素積分の正方形を問で確かめるRez&Imz（1-i,1+i,-1+i,-1+i）

・【複素関数】1/sinh zの留数を求める（解き方）

・【複素関数】sinz/z^2を留数定理で確かめる

・【複素関数】留数定理の問題練習＆解答付き

・…

代数学

結構苦手とする人が多い。研究するにはいいが、実用性に欠ける。

専門でないなら、使う機会は院試くらいなのが現実。

更新は遅めだが、群の範囲はコンプリートする予定。

この記事をブックマークして、ゆっくり待っていてほしい。

⇩代数学の記事を開く⇩

・【代数学・群①】群の定義の確認

・【代数学・群】単位元と逆元の一意性と(a^-1)^-1=aの証明

・【代数学・群】シンプレクティック群（斜交群）がGL_2n(R)の部分群となることの証明

・…

確率統計

基本的に高校数学で理解できるレベルのものが多いが、最後の方で大学数学でないと厳しい内容も扱う。

⇩確率統計の記事を開く⇩

・事象の確認（和事象,交事象,差事象,余事象,排反事象）【高校大学数学・確率統計】

・【測度・大学の確率論】確率空間って？簡単に言えば？確認しよう

・【確率論】劣加法性とは？＆証明付き

・【測度と確率論】確率変数とは？定義を簡単に言うには？イメージ図付き

・【簡単】条件付確率と乗法公式その一般化

・全確率の定理と証明【高校大学数学・確率統計】

・【確率統計】全確率の定理からベイズの定理へ

・【確率統計】独立（確率）の必要十分条件と条件付き確率の関係

・ビュフォンの針問題の確率を求めよう

・【確率統計】確率分布の『～』記号の意味は？使い方など

・期待値と分散の求め方【離散型と連続型】

・ボレル・カンテリの定理（補題）と証明（測度,確率,ルベーグ積分）

・【確率論】（証明）AとBが独立ならばA^cとB,AとB^c,A^cとBは独立である

・【確率論】エテマディ(Etemadi)の不等式と証明のヒント

・… 

測度論・ルベーグ積分

⇩ルベーグ積分の記事を開く⇩

・Darboux(ダルブー)の上積分と下積分（リーマン可積分）

・【証明】有界閉区間上の連続関数はリーマン可積分 

・【測度論】σ（シグマ）加法族と有限加法族とは【測度・ルベーグ積分】

・【測度論】σ加法族と共通部分の問を解く【測度・ルベーグ積分】

・【測度論】測度の単調性の証明

・ボレル・カンテリの定理（補題）と証明（測度,確率,ルベーグ積分）

・【関数解析】ヤングの不等式の簡単な証明からヘルダーの不等式へ

・ヘルダー(Hölder)の不等式とミンコウスキ(Minkowski)の不等式へ＆証明のヒント【ルベーグ積分】

・【ess sup】本質的上限(essential supremum)とは？わかりやすい例で説明すると

・…

フーリエ解析

⇩フーリエ解析の記事を開く⇩

・フーリエ級数展開【例題#1】『xの場合』

・…

関数解析

⇩関数解析の記事を開く⇩

・【関数解析#1】線形空間＆線形部分空間＆無限次元

・【関数解析#2】ノルム空間（距離空間）

・【関数解析#3】直積ノルム空間とは

・【関数解析#4】バナッハ空間とは（完備なノルム空間）

・【関数解析｜問題】ノルムが凸関数になることの証明

・コーシー列と収束の関係＆バナッハ空間

・【関数解析】ノルム空間Xにおいてコンパクトならば完備であること

・【関数解析｜問題】内積空間はノルム空間になる（三角不等式の証明）

・【関数解析】R-{0}が完備でないことの証明（コーシー列）

・【関数解析】ヤングの不等式の簡単な証明からヘルダーの不等式へ

・ヘルダー(Hölder)の不等式とミンコウスキ(Minkowski)の不等式へ＆証明のヒント【ルベーグ積分】

・縮小写像でない例について：sinxの場合

・【関数解析｜問題】極限の一意性と弱収束（解｜証明付き）

・…

LaTeX

note.com

⇩LaTeXの記事を開く⇩

・【LaTeX】自然数、整数、有理数、実数、複素数（N,Z,Q,R,Cの変換）

・【LaTeX】太字のベクトルの例【０（ゼロ）ベクトルもあり】

・【LaTeX】簡単！LaTeXで差集合の『∖』を使うには

・【LaTeX】数式の場合分けで綺麗にそろえる工夫 

・【LaTeX】分数の中に分数

・【LaTeX】積分（インテグラル）を使いこなす（積分や重責分）

・【LaTeX】多重積分（例多め）

・【LaTeX】行列を横に並べる方法（例多め）

・【LaTeX】総和、∑（シグマ記号）の例多め

・【LaTeX】偏微分の例（簡単＆コピペOK）

・【LaTeX】rank（Ker,Im等）はどうすればよいか（綺麗にしたい）【線形代数等】

・【LaTeX】ギリシャ文字のイプシロンとファイとシータの変え方（小文字）

・【LaTeX】チルダ（～）やバー、ドットなど（コピペ用＆例多め）

・（例多め）LaTeXで鍵括弧と大きいサイズの括弧 

・【LaTeX】アレフℵのやり方は？濃度などで使う 

・【LaTeX】コピペでも使える花文字・筆記体（集合族・測度論等でよく使う）

・【LaTeX】フォントを変える：ボールド（bold）ゴシック（Gothic）イタリック（Italic）

・【LaTeX】（コピペ用）特殊文字：著作権,コピーライトⒸや登録商標Ⓡはどうやればよいか 

・【LaTeX】文中（行）と段落間に空白（スペース）を入れる方法

・【LaTeX】数式の途中の空白（スペース）を調節する方法（ブログでも使える）

・【LaTeX】問題などで使う括弧（囲み枠）のやり方～英数字を囲みたい～

・【LaTeX】ブログなどで括弧[]にエラーが出る時の対処法（上手くできないなら）

・【LaTeX】『＝』（イコール）の上と下に文字を付ける方法（その他｜同値⇔）

・…

数学英語【+英和和英】

⇩数学＆英語の記事を開く⇩

★【数学英語】小なり（＜）の英語は？使い方も

★【英語版】アルキメデスの原理（性質）と実数の稠密性（証明付き）

◎Definition of inverse mapping【数学英語翻訳】集合：逆写像

・(数学英和・使い方)『abbreviate』の意味は？使用例など

・(数学英和・使い方)『a.e.』の意味は？（＋『a.s.』）何の略なのか。使用例など

・…

おすすめ：数学の参考書紹介

役に立つ参考書の紹介。

実際に見て、使い倒して、効果があったものとして厳選しているので、

安心して選んでほしい。

・【厳選四冊】数学科が選ぶおすすめの洋書（数学）はこれだ！！【高校,大学生】 

・【大学二年～四年】洋書（数学）で読んでおきたいもの（院試対策におすすめ）

・【厳選四冊】数学科が勧める複素関数の参考書【複素解析】

・【厳選三冊】数学科が選ぶ常微分方程式の教科書（参考書）

・【初学者向け】数学科が勧める線形代数の演習＆参考書（厳選三冊）

・【厳選4冊】（院試対策にも！）レベルの高い線形代数の参考書（教科書）

・【厳選】数学科が勧める関数解析の【教科書,参考書,問題集,演習書,洋書】

・…

★超★必見！

一度は見てほしい、数学の勉強法の記事（外部リンクnote）です。

1,線形代数勉強法

note.com

理系大学生なら一度は読んでおきたい記事

◆必見◆

大学数学記事を見た方は一度は見てほしい記事です。数学科でない人でも。
絶対役に立ちます。

dodgson.hatenablog.com

数学記事のQ&A

記事に関する大体の疑問は下の記事で解決します。

筆者（サイト管理人）の秘密も知れますよ。（誰得）

・数学記事のQ＆A - ドジソンの本棚