はじめに
ここでは関数の連続性、\( \sin x\)の連続を証明します。
関数の連続性の確認
\(f(x)\)が\(x=a\)で連続であるとする。（\(a \in I\)）
つまり、\(\displaystyle\lim _{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)\)が成立する。
これは、
\(\forall \varepsilon >0\exists \delta >0\forall x\in I( \left| x-a\right| <\delta \Rightarrow \left| f\left( x\right) -f\left( a\right) \right| < \varepsilon )\)
次は、これを使って\( \sin x\)が\(\mathbb{R}\)で連続であることを示す。
\( \sin x\)が\(\mathbb{R}\)で連続であることの証明
\(\forall x\in \mathbb{R}\)に対し、
\(\begin{aligned}\left| \sin x-\sin a\right| &=2\left| \cos \dfrac{x+a}{2}\cdot \sin \dfrac{x-a}{2}\right| &\\& \leq 2\cdot 1\cdot \left| \sin \dfrac{x-a}{2}\right| &\\& \leq 2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \left| x-a\right|& \\ &=\left| x-a\right| <\delta& \end{aligned}\)
\( \delta = \varepsilon\)ととると、
\(\forall \varepsilon >0\exists \delta >0\forall x\in \mathbb{R}( \left| x-a\right| <\delta \Rightarrow \left|\sin x -\sin a\right| < \varepsilon )\)
おわり。
途中、\( | \sin \mathrm{or}\cos | \leq 1\)の手法を使った。確認までに。
次はさらに難しく、合成関数の連続性の証明をする。
参考書などでもあまり見ないので記事にすることにした。
勉強したい方は一緒に見よう。
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