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【線形代数】行列のn乗のよく使う例(3×3の場合)【対角行列のn乗その他】

はじめに

ここでは行列のn乗の例、中でも3×3のn乗について確認します。
タイトル通り、例題その2では対角行列のn乗についてもやります。
スマホから見ている場合は、長い数式は横にスライドして見ることができます。

例題その1

特によく出る例その1となります。
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
この行列Aに対して、A^{n}を求めてみましょう。
一度やってみてから下の解で確認してください。


解を見る⇩(開閉できます)


A^{2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
A^{n}=0,( n\geq 3)
これは覚えておいてもよいレベル。

例題その2

これも『その1』と同じくよく出るもの。
対角行列のn乗をやってみよう。
A=\begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}


解を見る⇩(開閉できます)


A^{n}=\begin{pmatrix} a^{n} & 0 & 0 \\ 0 & b^{n} & 0 \\ 0 & 0 & c^{n} \end{pmatrix}
対角成分をn乗するだけです。
これは3×3に限らず、他の対角行列でも同様です。

例題その3(やや難)

計算すれば自動的に求まりますが、場合分けを考えてやや難とします。
これも準よく出るもので、一度やっていれば難なく解けるはず。
次の行列をn乗してみましょう。
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}


解を見る⇩(開閉できます)


A^{3n}=E
A^{3n+1}=A
A^{3n+2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
以上。
もっと練習したい場合は線形代数の本でしましょう。

線形代数参考書

初学者向け⇩
dodgson.hatenablog.com
レベルの高いもの⇩
dodgson.hatenablog.com

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