【線形代数】行列のn乗のよく使う例（3×3の場合）【対角行列のn乗その他】

はじめに
例題その１
例題その２
例題その３（やや難）
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はじめに

ここでは行列のn乗の例、中でも3×3のn乗について確認します。
タイトル通り、例題その２では対角行列のn乗についてもやります。
※スマホから見ている場合は、長い数式は横にスライドして見ることができます。

例題その１

特によく出る例その１となります。
$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
この行列 $A$ に対して、 $A^{n}$ を求めてみましょう。
一度やってみてから下の解で確認してください。

解を見る⇩（開閉できます）

$A^{2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$A^{n}=0,( n\geq 3)$
これは覚えておいてもよいレベル。

例題その２

これも『その１』と同じくよく出るもの。
対角行列のn乗をやってみよう。
$A=\begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}$

解を見る⇩（開閉できます）

$A^{n}=\begin{pmatrix} a^{n} & 0 & 0 \\ 0 & b^{n} & 0 \\ 0 & 0 & c^{n} \end{pmatrix}$
対角成分をn乗するだけです。
これは3×3に限らず、他の対角行列でも同様です。

例題その３（やや難）

計算すれば自動的に求まりますが、場合分けを考えてやや難とします。
これも準よく出るもので、一度やっていれば難なく解けるはず。
次の行列をn乗してみましょう。
$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

解を見る⇩（開閉できます）

$A^{3n}=E$
$A^{3n+1}=A$
$A^{3n+2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

以上。
もっと練習したい場合は線形代数の本でしましょう。

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初学者向け⇩
dodgson.hatenablog.com
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