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【不等式の証明】1-(x^2)/2<cos x <1-(x^2)/2+(x^4)/24,(x≠0)

ここでは、不等式の問題練習をします。
動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。

【問題】
1-\dfrac{x^{2}}{2} <\cos x <1-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{4}}{24}
を示せ。ただし、x\neq 0とする。

動画解説(YouTube

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解説

それぞれ偶関数より、x>0を考えればよいことに注意する。

まずは、1-\dfrac{x^{2}}{2} <\cos xを示す。
f\left( x\right) =\cos x-\left( 1-\dfrac{x^{2}}{2}\right)とおくと、
f'\left( x\right) =-\sin x+xとなる。
グラフは下のとおりである。

また、弧と弦を比較することで、次が言える。
x>0において、f'\left( x\right)>0であるので、fは増加関数。
参考までに、図を下に用意した。

また、f(0)=0より、x>0f(x)>0である。

よって、x>0において、1-\dfrac{x^{2}}{2} <\cos x


次は、
\cos x <1-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{4}}{24}
を示す。

g\left( x\right) =\left( 1-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{4}}{24}\right) -\cos x
とおくと、

g'\left( x\right) =-x+\dfrac{x^{3}}{6}+\sin x
である。

また、
\begin{aligned}g''\left( x\right) =-1+\dfrac{x^{2}}{2}+\cos x\\ =\cos x-\left( 1-\dfrac{x^{2}}{2}\right) \end{aligned}
である。
これは上で確認したとおり、x>0g''\left( x\right) >0であり、g'(0) =0から、
x>0g'\left( x\right) >0とわかる。

よってgは増加関数。

また、g(0)=0より、x>0g(x)>0である。

したがって、x>0において、\cos x <1-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{4}}{24}

示せた。

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