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【不等式の証明】1-(x^2)/2<cos x <1-(x^2)/2+(x^4)/24,(x≠0)

数学解析学

ここでは、不等式の問題練習をします。
動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。

【問題】
$1-\dfrac{x^{2}}{2} ＜\cos x ＜1-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{4}}{24}$
を示せ。ただし、 $x\neq 0$ とする。

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解説

それぞれ偶関数より、 $x＞0$ を考えればよいことに注意する。

まずは、 $1-\dfrac{x^{2}}{2} ＜\cos x$ を示す。
$f\left( x\right) =\cos x-\left( 1-\dfrac{x^{2}}{2}\right)$ とおくと、
$f'\left( x\right) =-\sin x+x$ となる。
グラフは下のとおりである。

また、弧と弦を比較することで、次が言える。
$x＞0$ において、 $f'\left( x\right)＞0$ であるので、 $f$ は増加関数。
参考までに、図を下に用意した。

また、 $f(0)=0$ より、 $x＞0$ で $f(x)＞0$ である。

よって、 $x＞0$ において、 $1-\dfrac{x^{2}}{2} ＜\cos x$

次は、
$\cos x ＜1-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{4}}{24}$
を示す。

$g\left( x\right) =\left( 1-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{4}}{24}\right) -\cos x$
とおくと、

$g'\left( x\right) =-x+\dfrac{x^{3}}{6}+\sin x$
である。

また、
$\begin{aligned}g''\left( x\right) =-1+\dfrac{x^{2}}{2}+\cos x\\ =\cos x-\left( 1-\dfrac{x^{2}}{2}\right) \end{aligned}$
である。
これは上で確認したとおり、 $x＞0$ で $g''\left( x\right) ＞0$ であり、 $g'(0) =0$ から、
$x＞0$ で $g'\left( x\right) ＞0$ とわかる。

よって $g$ は増加関数。

また、 $g(0)=0$ より、 $x＞0$ で $g(x)＞0$ である。

したがって、 $x＞0$ において、 $\cos x ＜1-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{4}}{24}$

示せた。

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