【ε-N論法②】はさみうちの原理の証明～数列とその極限～

はじめに

ここでは【ε-N論法】はさみうちの原理の証明をします。

前回↓の続きです。まだ見てない方は①からどうぞ。

dodgson.hatenablog.com

証明

・ $\forall n ∈ \mathbb{N}$ に対し、 $a_n≦c_n≦b_n$ を満たし、

$\displaystyle\lim_{n \to\infty} a_n = α$ , $\displaystyle\lim_{n \to\infty} b_n =α$ ならば、 $\displaystyle\lim_{n \to\infty} c_n = α$ である。

この証明だ。

準備：まず示したいのは、

$\forall ε＞0 \exists N(ε) ∈ \mathbb{N} \exists n ∈ \mathbb{N} [n≧N(ε)⇒|c_n - α|＜ε$ ]である。

このように方針を立てるのは重要だ。

$|c_n-α|＜ε$ を分解して、 $-ε＜c_n-α＜ε⇒α-ε＜c_n＜α+ε$ とすれば道が見えてくるはず。

では、証明スタートだ。

$\displaystyle\lim_{n \to\infty} a_n = α$ より、

$\forall ε＞0 \exists N_1(ε) ∈ \mathbb{N} \exists n ∈ \mathbb{N} [n≧N_1(ε)⇒|a_n - α|＜ε$ ]…①

$\displaystyle\lim_{n \to\infty} b_n =α$ より、

$\forall ε＞0 \exists N_2(ε) ∈ \mathbb{N} \exists n ∈ \mathbb{N} [n≧N_2(ε)⇒|b_n -α |＜ε$ ]…②

が成り立つ。

$\forall n ∈ \mathbb{N}$ に対して、 $N(ε)=\max\{N_1(ε),N_2(ε)\}$ とおくと、

$n≧N(ε)$ ならば、

①より $α-ε＜a_n$ …①’

②より $b_n＜α+ε$ …②’

①’と②’と、 $a_n≦c_n≦b_n$ より、

$α-ε＜c_n＜α+ε$ である。

これより $-ε＜c_n-α＜ε⇒|c_n-α|＜ε$ となる。

よって示せた。

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