【ε-N論法①】極限の一意性の証明～数列とその極限～

はじめに

ここでは【ε-N論法】極限の一意性の証明をします。

証明したいもの《極限の一意性》

では早速証明を始めよう。

※スマホから見ている人は横スクロールしながら読み進めていってほしい。

・数列 $｛a_n｝$ が収束すれば、その極限は一つである。《極限の一意性》

証明：

$α \neq β$ とする。極限が一つでないとき、

$\displaystyle\lim_{n \to\infty} a_n = α$ , $\displaystyle\lim_{n \to\infty} a_n = β$

となる（極限が二つあるとする）

$\displaystyle\lim_{n \to\infty} a_n = α$ より、

$\forall ε＞0 \exists N_1(ε) ∈ \mathbb{N} \exists n ∈ \mathbb{N} [n≧N_1(ε)⇒|a_n - α|＜ε$ ]

$\displaystyle\lim_{n \to\infty} a_n =β$ より、

$\forall ε＞0 \exists N_2(ε) ∈ \mathbb{N} \exists n ∈ \mathbb{N} [n≧N_2(ε)⇒|a_n -β |＜ε$ ]

が成り立つ。

$ε=\frac{|α-β|}{2}$ とする。（ $ε$ は任意より）

ここで $N(ε)=\max\{N_1(ε),N_2(ε)\}$ とおくと、

$n≧N(ε)⇒|a_n - α|＜\frac{|α-β|}{2},|a_n -β |＜\frac{|α-β|}{2}$ が得られる。

これより、

$|α-β|≦|α - a_n| + |a_n -β | ＜\frac{|α-β|}{2} + \frac{|α-β|}{2} = |α-β|$

$|α-β|＜ |α-β|$ は矛盾より、 $α=β$

よって示せた。（極限は一つである）

以上、終わり。

続きの記事で『はさみうちの原理』の証明もしているのでそちらもどうぞ。

関連記事（この記事の一番下）に載せています。

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