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簡単！極限の計算『lim[x→+0]x^x』【ロピタルの定理】

数学解析学

はじめに

関数 $x^x$ は、通常の指数関数とは異なり、変数が底にも指数にも含まれるため、その極限の評価には工夫が必要です。

特に今回は、次の極限を求めます：

$\displaystyle \lim_{x \to +0} x^x$

一見すると、 $x \to 0^+$ では $x^x \to 0^0$ の形になり、不定形が生じます。

このような場合には、ロピタルの定理や対数変換を活用します。

ステップ1：指数の性質を利用して変形

まず、関数 $x^x$ を指数関数の形に書き換えます：

$x^x = e^{x \ln x}$

したがって、求める極限は次のように書き直せます：

$\displaystyle \lim_{x \to +0} x^x = \lim_{x \to +0} e^{x \ln x}$

ここで、指数関数 $e^{(\cdot)}$ は連続関数であるため、極限の中身を先に求めることができます：

$\displaystyle = e^{\lim_{x \to +0} x \ln x}$

したがって、核心は以下の極限の評価にあります：

$\displaystyle \lim_{x \to +0} x \ln x$

ステップ2：極限 $\lim_{x \to +0} x \ln x$ の評価

ここで、 $x \to 0^+$ のとき、

$x \to 0$
$\ln x \to -\infty$

したがって、積 $x \ln x \to 0 \cdot (-\infty)$ の形となり、不定形 $0 \cdot (-\infty)$ が生じます。

このような場合、ロピタルの定理を適用できる形に変形するのが有効です。以下のように変形します：

$x \ln x = \frac{\ln x}{1/x}$

これで、分子 $\ln x \to -\infty$ 、分母 $1/x \to \infty$ の形になり、全体は $\frac{-\infty}{\infty}$ という不定形となります。

この形に対してロピタルの定理を適用します。

ステップ3：ロピタルの定理の適用

ロピタルの定理より、分子・分母を微分して極限を評価します：

$\displaystyle \lim_{x \to +0} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to +0} \frac{1/x}{-1/x^2}$

$\displaystyle = \lim_{x \to +0} -x = 0$

したがって、

$\displaystyle \lim_{x \to +0} x \ln x = 0$

ステップ4：結論の導出

以上より、

$\displaystyle \lim_{x \to +0} x^x = \lim_{x \to +0} e^{x \ln x} = e^0 = 1$

最終結論

$\boxed{\lim_{x \to +0} x^x = 1}$

補足：x → 0⁻ ではどうなるか？

関数 $x^x$ は、実数の範囲では $x ＜ 0$ のとき未定義（虚数を含む可能性あり）です。

したがって、極限を考えるのは $x \to 0^+$ の場合に限られます。

まとめ

以下、この記事のまとめです。

$x^x$ の極限では、指数関数の性質を利用して $x^x = e^{x \ln x}$ に変形する。
中身の $\lim_{x \to +0} x \ln x$ はロピタルの定理で評価する。
極限結果は $\boxed{1}$ である。

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