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簡単！極限の計算『lim[x→+0]x^xは？』【ロピタルの定理】

数学解析学

はじめに

この記事では『 $\displaystyle\lim _{x\rightarrow +0}x^{x}$ 』の求め方を解説します。

ロピタルの定理、第一回目になります。

この続きの問もありますので、見終わったら記事の一番下から次に進んでください。

極限の計算『 $\displaystyle\lim _{x\rightarrow +0}x^{x}$ は？』

$\displaystyle\lim _{x\rightarrow +0}x^{x}$ を求める。
$u=x^{x}$ とおくと $\log u=x\log x$ である。
ここで、 $\dfrac{1}{x}=y$ とおけば、
$x\rightarrow +0$ のとき $y\rightarrow \infty$ で、
$\displaystyle\lim _{x\rightarrow +0}x\log x=\lim _{y\rightarrow \infty }\dfrac{-\log y}{y}=0$
(※最後、ロピタルの定理より)
であるので、
$u\rightarrow e^{0}=1$
したがって、
$\displaystyle\lim _{x\rightarrow +0}x^{x}=1$

※ロピタルの定理
$\displaystyle\lim _{x\rightarrow a}f\left( x\right) =0,\lim _{x\rightarrow a}g\left( x\right) =0$
または、 $\displaystyle\lim _{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\pm \infty ,\lim _{x\rightarrow a}g\left( x\right) =\pm \infty$
のいずれかが成立するとき、（つまり、 $\dfrac{0}{0},\dfrac{\infty }{\infty }$ となれば）
$\displaystyle\lim _{x\rightarrow a}\dfrac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }=A$ であれば、
$\displaystyle\lim _{x\rightarrow a}\dfrac{f'\left( x\right) }{g'\left( x\right) }=A$ である。

途中、ロピタルの定理を使ったので、下で説明しています。

ロピタルの定理便利ですね。

ちなみに場合によっては $+0$ を $0+$ と書いてあることもありますが、

どちらも同じです。

参考文献、

松坂和夫：『解析入門』,岩波書店の旧版を使って勉強していまして、

そこでは上のような違いが見られました。

特に問題はないですがね。

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