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簡単！極限の計算『lim[x→0⁺]x^sin xは？』【対数変換と微分】

数学解析学

はじめに

今回扱う極限は以下の通りです。

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^{\sin x}$

この極限は、不定形 0^0 型 に属し、通常の代入では評価できません。
適切な変形（対数変換）と極限評価によって値を求めていきます。

極限の形と不定形の確認

$x \to 0^+$ のとき、 $x \to 0$ かつ $\sin x \to 0$ なので、

$x^{\sin x} \to 0^0$

これは典型的な不定形です。したがって、対数を使った変形が必要になります。

対数変換による準備

まず、対象の関数を $y = x^{\sin x}$ とおき、両辺の自然対数を取ります：

$\ln y = \sin x \cdot \ln x$

したがって、極限は次のように書き換えられます：

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^{\sin x} = \lim_{x \to 0^+} e^{\sin x \cdot \ln x}$

あとは、 $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \sin x \cdot \ln x$ の極限を求めることで、元の極限の値が得られます。

極限 $\sin x \cdot \ln x$ の評価

$\sin x \sim x$ （x → 0 のときの近似）を使うことで、

$\sin x \cdot \ln x \sim x \cdot \ln x$

よって、次の極限と同値になります：

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x \cdot \ln x$

この極限は、不定形 $0 \cdot (-\infty)$ なので、ロピタルの定理を適用するため、分数形に変形します：

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x}$

分子・分母ともに無限大の形になるため、ロピタルの定理が使えます：

$\displaystyle = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} -x = 0$

したがって、

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \sin x \cdot \ln x = 0$

最終結果の導出

以上から、

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^{\sin x} = \lim_{x \to 0^+} e^{\sin x \cdot \ln x} = e^0 = 1$

結論

$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^{\sin x} = 1}$

補足：より一般的な形式

このような形の極限評価では、以下の形式を参考にすることが多いです：

$\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)^{g(x)} = \exp\left( \lim_{x \to a^+} g(x) \cdot \ln f(x) \right)$

この変形は、不定形 0^0型, ∞^0型, 1^∞型 などに対して広く使える重要な手法です。

まとめ

以下、この記事のまとめです。

問題の極限は $0^0$ 型の不定形である。
対数変換により指数部の極限を評価する。
$\sin x \sim x$ を使って簡略化。
ロピタルの定理により極限を求めた。
最終的な極限値は $1$ 。

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