ガウス関数のフーリエ変換
関数 f(x) = e^{-a x^2}（a > 0）のフーリエ変換を、定義を明示した上で二通りの方法（微分方程式法／平方完成による直接積分）で導出する。
なお、最終結果は本稿の定義に基づき
\(F(\omega)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}e^{-i\omega x}\,dx = \sqrt{\dfrac{1}{2a}}\,e^{-\omega^2/(4a)}\)
である。
1. 定義と前提
本稿で用いるフーリエ変換の定義（角周波数 \(\omega\)）は次の通りである。
\(F(\omega)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx\)
元関数は f(x)=e^{-ax^2（a>0）とする。a>0 により積分は収束し、微分・積分の順序交換や部分積分時の境界項消失が正当化される。
2. 方法 A — 微分方程式を用いる
まず \(F(\omega)\) を \(\omega\) で微分する。
\(F'(\omega)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial}{\partial\omega}\bigl(e^{-ax^2}e^{-i\omega x}\bigr)\,dx
=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}(-ix)\,e^{-ax^2}e^{-i\omega x}\,dx.\)
ここで \(\dfrac{d}{dx}e^{-ax^2}=-2ax\,e^{-ax^2}\) より
\((-ix)e^{-ax^2}=\dfrac{i}{2a}\dfrac{d}{dx}\bigl(e^{-ax^2}\bigr).\)
これを代入して部分積分を行うと、境界項は消え、次が得られる。
\(F'(\omega)=-\dfrac{\omega}{2a}\,F(\omega).\)
この常微分方程式を解けば
\(F(\omega)=C\,e^{-\omega^2/(4a)}\quad(C\text{ は定数}).\)
\(\omega=0\) を代入して定数を決定する。
\(F(0)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}\,dx
=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}=\sqrt{\dfrac{1}{2a}},\)
したがって最終的に
\(\boxed{\,F(\omega)=\sqrt{\dfrac{1}{2a}}\,e^{-\omega^2/(4a)}\,}\)
3. 方法 B — 平方完成による直接積分
指数部分を平方完成する。
\(ax^2 + i\omega x = a\Bigl(x+\dfrac{i\omega}{2a}\Bigr)^2 + \dfrac{\omega^2}{4a}.\)
したがって
\(e^{-(ax^2+i\omega x)} = e^{-\omega^2/(4a)}\,e^{-a\left(x+\dfrac{i\omega}{2a}\right)^2}.\)
これより
\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2-i\omega x}\,dx
= e^{-\omega^2/(4a)}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a\left(x+\dfrac{i\omega}{2a}\right)^2}\,dx.\)
変数置換 \(u=x+\dfrac{i\omega}{2a}\) により積分路を平行移動するが、被積分関数は正則で急減するため実軸を平行移動しても値は変わらない。したがって
\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a\left(x+\dfrac{i\omega}{2a}\right)^2}\,dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-au^2}\,du=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}},\)
結果は方法 A と一致する。
4. 分散と不確定性（簡潔な補足）
正規化したガウス関数を考えると（\(\int|\psi|^2dx=1\)）、標準偏差は次のようになる。
\(\psi(x)=\biggl(\dfrac{2a}{\pi}\biggr)^{1/4}e^{-ax^2},\quad
\sigma_x^2=\dfrac{1}{4a},\quad\sigma_\omega^2=a.\)
したがって \(\sigma_x\sigma_\omega=\dfrac{1}{2}\) であり、ガウスは不確定性の下限を満たす関数である。
5. 規約についての注意
フーリエ変換の係数（正規化）によって前係数は変わる。
例：
- 本稿の規約（\(1/\sqrt{2\pi}\)）
- \(\mathcal{F}\{e^{-ax^2}\}(\omega)=\sqrt{\dfrac{1}{2a}}\,e^{-\omega^2/(4a)}\)
- 係数無し規約（\(\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int f(x)e^{-i\omega x}dx\)）
- \(\mathcal{F}\{e^{-ax^2}\}(\omega)=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}\,e^{-\omega^2/(4a)}\)
6. 結論
ガウス関数 \(e^{-ax^2}\) のフーリエ変換は再びガウス関数になり、定義に応じた前係数を伴って
\(\displaystyle F(\omega)=\sqrt{\dfrac{1}{2a}}\,e^{-\omega^2/(4a)}\)
が成立する。元の関数の空間的な広がりと周波数空間での広がりは逆関係にあることを示す。「方法 A（微分方程式）」と「方法 B（平方完成）」は互いに整合する。
