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【簡単】ガウス関数のフーリエ変換を計算してみよう

はじめに

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!確認しよう!

今回、ガウス関数積分を使用する。

前回の記事の続きになるわけだが、もしまだ見てないならそちらから見ておくことを勧める。

dodgson.hatenablog.com

↑先に見ておこう。

ガウス関数フーリエ変換

ガウス関数、またそのフーリエ変換
f\left( x\right) =e^{-\frac{x^{2}}{a}}
F\left( \omega \right) =\dfrac{1}{\sqrt{2\pi }}\int ^{\infty }_{-\infty }f\left( x\right) e^{-i\omega x}dxとする。
このとき、
F'\left( \omega \right) =-\frac{i}{\sqrt{2\pi }}\int ^{\infty }_{-\infty }xe^{-\frac{x^{2}}{a}}e^{-i\omega x}dx
である。

中の積分を計算し、
F'\left( \omega \right) =-\dfrac{\omega }{2a}F\left( \omega \right)

よって、F'\left( \omega \right) +\dfrac{\omega }{2a}f\left( \omega \right) =0であることがわかった。

これより、\dfrac{F'\left( \omega \right) }{F\left( \omega \right) }=-\dfrac{\omega }{2a}
なので、\log F\left( x\right) =-\dfrac{\omega ^{2}}{4a}+C_{0}

したがって、F\left( \omega \right) =C_{1}e^{-\dfrac{\omega ^{2}}{4a}}
C_{1}=e^{C_{0}}とした。

C_{1}=F\left( 0\right) =\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}dx=\sqrt{\dfrac{x}{a}}であり(詳しくはこの記事で)、
F\left( \omega \right) =\sqrt{\dfrac{\pi }{a}}e^{-\dfrac{\omega ^{2}}{4a}}

おわり。

つまり、ガウス関数フーリエ変換ガウス関数になるというわけだ。
結構重要なようで、この事実は知っておくべきだろう。

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