【置換積分】1/sinxと1/cosxの積分【ワイエルシュトラス置換の使い道】

はじめに

ここでは $\dfrac{1}{\sin x}$ と $\dfrac{1}{\cos x}$ の積分をする。
逆数の方であって、逆関数とは違うので注意。（ややこしい）
逆関数の方は下の記事でやったので、ついでに見ておこう。
dodgson.hatenablog.com

$\dfrac{1}{\sin x}$ と $\dfrac{1}{\cos x}$ の積分

置換積分の方でやります。
他にもやり方はありますが、計算がしんどいのでしません。しなくていいです。
※途中、置換の説明で少し脱線しますが、勉強になるので見ておきましょう。

ワイエルシュトラス置換を使う。

まず、 $\dfrac{1}{\sin x}$ と $\dfrac{1}{\cos x}$ は
$\sin$ と $\cos$ のみで構成されているので
$t=\tan \dfrac{x}{2}$ とおいて置換積分できる。

このとき、

$dx=\dfrac{2dt}{1+t^{2}},\sin x=\dfrac{2t}{1+t^{2}},\cos x=\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$

これをワイエルシュトラス置換という。

いや、名前あったのかよ、って話ですが。

逆にワイエルシュトラス置換って何に使うのー？という物知りには、主に三角関数の逆数の積分とかですかね、と答えておく。

で、問題は、なんで $\sin x=\dfrac{2t}{1+t^{2}}$ なのですか？というわけで、
これを説明できる人は少なかろう。
なので、 $\sin x=\dfrac{2t}{1+t^{2}}$ を試しにやってみます。
$\cos$ の方は各自やってください。

$\sin x=\dfrac{2t}{1+t^{2}}$ を示す。

$\begin{aligned}\sin x&=\dfrac{2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}}{\sin ^{2}\dfrac{x}{2}+\cos ^{2}\dfrac{x}{2}}&\\ &=\dfrac{2\tan \dfrac{x}{2}}{\tan ^{2}\dfrac{x}{2}+1}&\\ &=\dfrac{2t}{1+t^{2}}&\end{aligned}$
どう計算しているのかは見ればわかるので、特に説明はしないがテクニカルな手法。

他に、加法定理と二倍角で $\cos$ をだして、 $\sin x=\tan x\cdot \cos x$ に持ち込むのもあるが、こちらでやってもよい。

好きな方でどうぞ。

$\sin x=2\tan \dfrac{x}{2}\cos ^{2}\dfrac{x}{2}$ でやる人もいるが、
これに関しては結局、上の加法と二倍角を分かったうえでの計算なので、おすすめしない。

もしもやっている人がいたら、「これ途中の計算どうなってるの？」と聞いてみよう＾＾

さて、結構脱線してしまったが、本題の $\dfrac{1}{\sin x}$ と $\dfrac{1}{\cos x}$ の積分をやっていこう。

解いてみよう

まずは $\dfrac{1}{\sin x}$ の積分の方から。

$t=\tan \dfrac{x}{2}$ とおくと

$dx=\dfrac{2dt}{1+t^{2}},\sin x=\dfrac{2t}{1+t^{2}}$ なので、

$\begin{aligned}\int \dfrac{dx}{\sin x}&=\int \dfrac{1+t^{2}}{2t}\cdot \dfrac{2dt}{1+t^{2}}&\\ &=\log \left| t\right| &\\ &=\log \left| \tan \dfrac{x}{2}\right| &\end{aligned}$

おわり！早い！

次は、 $\dfrac{1}{\cos x}$ の積分をしよう。
$dx=\dfrac{2dt}{1+t^{2}},\cos x=\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ なので、

$\begin{aligned}\int \dfrac{dx}{\cos x}&=\int \dfrac{1+t^{2}}{1-t^{2}}\cdot \dfrac{2dt}{1+t^{2}}&\\ &=\int \dfrac{2dt}{1-t^{2}}&\\ &=\int \left( \dfrac{1}{1-t}+\dfrac{1}{1+t}\right) dt\\&=\log \left| \dfrac{1+t}{1-t}\right| &\\&=\log \left| \dfrac{1+\tan \dfrac{x}{2}}{1-\tan \dfrac{x}{2}}\right|&\end{aligned}$

おわり！ちょっとしんどい！

~~LaTeX使うの疲れますね～~~
というわけで今回はここまで！
他の記事でも似たような問題解いているのでよかったら見てね！
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dodgson.hatenablog.com