【簡単】cos^3とsin^3から三倍角の公式を求める（加法定理なし）

はじめに
使う公式
三倍角の公式を求める
大学生必見！
おすすめ記事

はじめに

ここでは $\cos ^{3}\theta$ と $\sin ^{3}\theta$ 、それぞれから三倍角の公式を導くやり方を解説します。
加法定理なしで求めてみるので、加法定理を忘れた場合でもOKです。

使う公式

オイラーの公式
です。
『はじめに』で説明した通り、加法定理は使いません。

オイラーの公式
$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$
であるので、これを変形して

$\cos \theta =\dfrac{1}{2}\left( e^{i\theta }+e^{-i\theta }\right)$
$\sin \theta =\dfrac{1}{2i}\left( e^{i\theta }-e^{-i\theta }\right)$

となります。

これを覚えていれば問題ないでしょう。

三倍角の公式を求める

早速求めていきます。

$\begin{aligned}\cos ^{3}\theta &=\left( \dfrac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}\right) ^{3}&\\ &=\dfrac{1}{8}\left( \left( e^{i\theta }\right) ^{3}+3\left( e^{i\theta }\right) ^{2}e^{-i\theta }+3e^{i\theta }\left( e^{-i\theta }\right) ^{2}+\left( e^{-i\theta }\right) ^{3}\right) &\\ &=\dfrac{1}{8}\left( e^{3i\theta }+e^{-3i\theta }+3\left( e^{i\theta }+e^{-i\theta }\right) \right) &\\ &=\dfrac{1}{4}\cos 3\theta +\dfrac{3}{4}\cos \theta &\end{aligned}$

よって

$\cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta$

同様にして、
$\begin{aligned}\sin ^{3}\theta &=\left( \dfrac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}\right) ^{3}&\\&=-\dfrac{1}{8i}\left( 2i\sin 3\theta -6i\sin \theta \right) &\\ &=-\dfrac{1}{4}\sin 3\theta +\dfrac{3}{4}\sin \theta &\end{aligned}$

よって、

$\sin ^{3}\theta =-4\sin ^{3}\theta +3\sin \theta$

おわり。加法定理より、こちらの方が頭使わないで楽な気が。

他にも数学で役立つ記事を書いているので『数学記事まとめ』も併せてどうぞ。

大学生必見！

おすすめ紹介！
大学生の皆さん必見！ 教科書や参考書、日用品の買い物は ハピタスを経由すると、超お得なんです！
例えば、楽天の買い物も『ハピタス』経由でさらにポイント上乗せがあります！
筆者も買い物の際はハピタスを活用しているんですよ♪
そこで、大学生必須のポイントサイト『ハピタス』をあなたも使ってみませんか？
利用者440万人超えの人気サイトを使って、普段の生活をもっとお得にしましょう！
さらに、今ならなんと！1000円分のポイントがもらえます！
≫ハピタス（特典付き）
※上の招待リンクから登録後、メール認証で特典の対象となります。

ドジソンの本棚

上の『大学数学』から数学記事検索が簡単にできます

【簡単】cos^3とsin^3から三倍角の公式を求める（加法定理なし）

はじめに

使う公式

三倍角の公式を求める

大学生必見！

おすすめ記事