sin^-1xとcos^-1xの積分（ArcsinxとArccosx）【部分積分】

はじめに

ここでは $\sin ^{-1}x$ と $\cos ^{-1}x$ の積分をする。
ついでに次の記事で $\tan ^{-1}x$ の積分もするので、よければそちらもどうぞ。

$\sin ^{-1}x$ と $\cos ^{-1}x$ の積分

$f\left( x\right) =\sin ^{-1}x$ と置くと、
$f'\left( x\right) =\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

よって、部分積分をして
$\displaystyle\int \sin^{-1}xdx=x\sin ^{-1}x-\int \dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$
$1-x^2=t$ と置くと、 $-2xdx=dt$ より
$xdx=-\dfrac{dt}{2}$ なので、
（スマホは右にscroll）

$\displaystyle\int \dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=-\dfrac{1}{2}\int \dfrac{dt}{\sqrt{t}}=-\sqrt{t}=-\sqrt{1-x^{2}}$

したがって
$\displaystyle\int \sin ^{-1}xdx=x\sin ^{-1}x+\sqrt{1-x^{2}}+C$

$\sin ^{-1}x$ の方はこれで終わり。

$\cos ^{-1}x$ の場合もやり方は同じで
$g\left( x\right) =\cos ^{-1}x$ と置くと
$g\left( x\right) =-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ であるので
上の結果の $\sin ^{-1}x$ を $\cos ^{-1}x$ に、 $+\sqrt{1-x^{2}}$ を $-\sqrt{1-x^{2}}$ に変えればよいだけ。
なので、
$\displaystyle\int \cos ^{-1}xdx=x\cos ^{-1}x-\sqrt{1-x^{2}}+C$
である。

気になるなら実際にやってみて答えが合うか確かめよう。
ただ、こういうのは片方がでたらもう片方は楽するのが普通。

《予告》
次は $\tan ^{-1}x$ の積分をする。
ついでにこの記事内でやってもいいが、長くなるので次にまわすことにした。
次の記事は、このページの一番下『おすすめ記事』の所にリンクを貼っているので、勉強したい方はそちらからどうぞ。

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