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【2通り】シュワルツ(Schwarz)の不等式の証明

数学 解析学


ここではシュワルツの不等式の証明をします。
動画でも解説していますので、よければそちらも見てください。

シュワルツの不等式

\displaystyle\left( \sum ^{n}_{i=1}a_{i}b_{i}\right) ^{2}\leq \left( \sum ^{n}_{i=1}a_{i}^{2}\right) \left( \sum ^{n}_{i=1}b_{i}^{2}\right)
をシュワルツの不等式と言います。

不等式自体も重要ですが、その証明もまた重要です。
下で証明して見ましょう。

動画で解説（YouTube）

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チャンネルはこちら

証明１

まずは普通のやり方から見てみましょう。
不等式の形から、

\begin{aligned}\left( \sum ^{n}_{i=1}a_{i}^{2}\right) \left( \sum ^{n}_{i=1}b_{i}^{2}\right) -\left( \sum ^{n}_{i=1}a_{i}b_{i}\right) ^{2} \geq 0\end{aligned}
であればよいことがわかります。


※画像クリックで拡大

と計算でき、最後から0以上であることは明らかなので、示すことができました。

証明２

変わった方法ですが、こちらでも証明できます。

まず、
①：\displaystyle f\left( t\right) =\sum ^{n}_{i=1}\left( a_{i}t+b_{i}\right) ^{2}
とおきます。

計算しますと

\begin{aligned}f\left( t\right) =\left( \sum ^{n}_{i=1}a_{i}^{2}\right) t^{2}+2\left( \sum ^{n}_{i=1}a_{i}b_{i}\right) t+\left( \sum ^{n}_{i=1}b_{i}^{2}\right) \end{aligned}
となります。

①より、f(t)は0以上ですので、判別式を使えば0以下にならなければいけません。

よって、

\begin{aligned}\left( 2\sum ^{n}_{i=1}a_{i}b_{i}\right) ^{2}-4\left( \sum ^{n}_{i=1}a_{i}^{2}\right)\left( \sum ^{n}_{i=1}b_{i}^{2}\right) \leq 0\end{aligned}
より、4で割ることにより、
求める不等式が得られます。

おわり。動画ではもう少し詳しく解説していますので、そちらも参考にしてください。

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