【解析学】cot^3（コタンジェント三乗）の工夫をした積分方法

ここでは、積分の問題練習をします。
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問題

$\displaystyle \int \cot ^{3}xdx$ を求めよう。

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まず、cot(コタンジェント)とは何かについて確認します。
$\cot x=\dfrac{1}{\tan x}=\dfrac{\cos x}{\sin x}$

このように、tan(タンジェント)の逆数となっています。

それでは、問題を解いていきましょう。

$\tan \dfrac{x}{2}$ とおく場合もありますが、大変な計算になるので、
下のように工夫をします。

$\begin{aligned}\cot ^{3}x=\dfrac{\cos ^{3}x}{\sin ^{3}x}=\dfrac{\cos ^{2}x}{\sin ^{3}x}\cos x\\ =\dfrac{1-\sin ^{2}x}{\sin ^{3}x}\cos x\end{aligned}$
とできますので、 $\sin x = t$ とすれば良さそうです。

そうすると次のように計算できます。
$\begin{aligned}\int \cot ^{3}xdx&=\int \dfrac{1-\sin ^{2}x}{\sin ^{3}x}\cos xdx&\\ &=\int \dfrac{1-t^{2}}{t^{3}}dt&\\ &=-\dfrac{1}{2t^{2}}-\log \left| t\right|+C& \\ &=-\dfrac{1}{2\sin ^{2}x}-\log \left| \sin x\right|+C& \end{aligned}$

よって、求める解は、
$-\dfrac{1}{2\sin ^{2}x}-\log \left| \sin x\right|+C$ です。（Ｃは積分定数）

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