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【解析学】極限を求める面白い問題と解答解説#1(高校・大学数学)


ここでは、極限の問題練習をします。
動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。

問題

\displaystyle \lim _{x\rightarrow \pi }\frac{1+\cos x}{\sin ^{2}x}を求めよう。

動画解説(YouTube

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解答解説

\displaystyle \lim _{x\rightarrow \pi }\frac{1+\cos x}{\sin ^{2}x}
について解いていきましょう。2通りの解き方で見ていきます。

①通常版:
\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow \pi }\dfrac{1+\cos x}{\sin ^{2}x}&=\lim _{x\rightarrow \pi }\dfrac{1+\cos x}{1-\cos ^{2}x}&\\ &=\lim _{x\rightarrow \pi }\dfrac{1}{1-\cos x}&\\ &=\dfrac{1}{2}&\end{aligned}


ロピタルの定理で解く:
上の①の解き方が一般的で楽ですが、ロピタルの定理を使うやり方もあります。

まず、\displaystyle \lim _{x\rightarrow \pi }\frac{1+\cos x}{\sin ^{2}x}\dfrac{0}{0}型であることに注目します。
そこで、ロピタルの定理を使います。

\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow \pi }\dfrac{1+\cos x}{\sin ^{2}x}&=\lim _{x\rightarrow \pi }\dfrac{-\sin x}{2\sin x\cos x}&\\ &=\lim _{x\rightarrow \pi }\dfrac{-1}{2\cos x}&\\ &=\dfrac{1}{2}&\end{aligned}

ロピタルの定理の話

余談にはなるが、ロピタルの定理はロピタルではなく、ヨハン・ベルヌーイによって発見されたものであるとされている。
定理を広めたのはロピタルであることからロピタルの定理と呼ばれるが、ベルヌーイの発見が先だったため、ベルヌーイの定理とも呼ばれているそうだ。
詳しくは『ロピタルの定理論争』を見て欲しいが、定理の発見・呼び方にも様々な背景があるということを知ってもらいたいところだ。

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おわりに&おすすめ

最後に、大学数学のおすすめ参考書まとめの記事を紹介します。
当サイトで人気記事となっていますので、よければ読んでみてください。

≫線形代数(初心者向け)
≫線形代数(上級者向け)
≫集合位相
≫複素関数
≫微分方程式
≫関数解析
≫洋書(初心者向け)
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