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【積分公式】f'(x)/f(x)の積分がlog|f(x)|になることの証明

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はじめに

ここでは、\displaystyle\int \dfrac{f'\left( x\right) }{f\left( x\right) }dx=\log \left| f\left( x\right) \right| +Cとなることの証明をします。
言うまでも無いですが、Cは任意定数です。
レベルとしては高校数学。
なので、大学生は復習でやってみよう。証明は意外とできない人も多いと思われるので。

証明

f(x)C^{1}級、すなわち一回微分可能であるとする。

t=f(x)とすると、
dt=f'\left( x\right) dx

両辺をf(x)で割って、
\dfrac{dt}{f\left( x\right) }=\dfrac{dt}{t}=\dfrac{f'\left( x\right) }{f\left( x\right) }
t=f(x)より。

あとはこれを積分すればよいので、(スマホは右にscroll)


\displaystyle\int \dfrac{f'\left( x\right) }{f\left( x\right) }dx=\int \dfrac{dt}{t}=\log \left| t\right| +C=\log\left| f\left( x\right) \right| +C

以上、おわり。証明終了。

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