x/√(x^2+1)の積分【置換積分】

はじめに

ここでは $\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ の積分を解く。
高校生でもできるので挑戦してみよう。

解

$\displaystyle\int \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}dx$ を求めたい。

$t=x^2+1$ とおくと、
$dt=2xdx$
つまり、 $xdx=\dfrac{dt}{2}$ である。

よって、（※スマホは右にスクロールして見よう）

$\displaystyle\int \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}dx=\dfrac{1}{2}\int \dfrac{dt}{\sqrt{t}}=\sqrt{t}+C=\sqrt{x^{2}+1}+C$

おわり。
すごく簡単。
高校の復習として置換積分の例で解いてみた。
これで流れは思い出せたでしょう。

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