【弧長】カテナリー（懸垂線）とアステロイド（星芒形）の曲線の長さを求める

はじめに

この記事ではカテナリー（懸垂線）とアステロイド（星芒形）の曲線の長さを求めます。

【弧長】カテナリー（懸垂線）とアステロイド（星芒形）の曲線の長さを求める

弧長の長さを求める。弧長： $l$

$\begin{aligned} l=\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{f^{\prime}(t)^{2}+g^{\prime}(t)^{2}} d t \\=\int_{a}^{b} \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} d x \end{aligned}$

図は以下を参照。

f:id:Dodgson:20210520211711p:plain

※ $x=f(t),y=g(t)$ 左の端点は $(f(α),g(α))$ で、右の端点は $(f(β),g(β))$ 。 $(α≦t≦β)$ 。

カテナリー（懸垂線）の場合

$\begin{aligned} y =a \cosh \frac{x}{a}, \frac{d y}{d x}=\sinh \frac{x}{a} \\ l =\int_{0}^{p} \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} d x \\ =\int_{0}^{1} \sqrt{1+\sin h^{2} \frac{x}{a}} d x \\ =\int_{0}^{p} \cosh \frac{x}{a} d x \end{aligned}$

図は以下を参照。

f:id:Dodgson:20210520213052p:plain

アステロイド（星芒形）の場合

スマホは数式を横にスクロールして見れます→

$\begin{array}{l} x=a \cos ^{3} \theta, y=a \sin ^{2} \theta \text { より、 } \\ \left(\frac{d x}{d \theta}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d \theta}\right)^{2}=\left(-3 a \cos ^{2} \theta \sin \theta\right)^{2}+\left(3 a \sin ^{2} \theta \cos \theta\right)^{2} \\ =(3 a \sin \theta \cos \theta)^{2} \\ \text{よって} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\left(\frac{d x}{d \theta}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d \theta}\right)^{2}} d \theta=4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 3 a \sin \theta \cos \theta d \theta=6 a \end{array}$

恋するアステr…

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解説

大学数学の範囲ですが、僕の記憶では高校数学でもやってた気がするので、高校生でもできるでしょう、多分。

やってることは難しくないので、試しに各自、レム二スケートやカージオイドなどもやってみてください。

参考文献は、小寺平治,『明解演習微分積分』（共立出版）です。

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大学入試の二次試験や大学で数学（微分積分）が必要なら買って勉強するのもいいでしょう。

今回はここまで。

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【弧長】カテナリー（懸垂線）とアステロイド（星芒形）の曲線の長さを求める

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カテナリー（懸垂線）の場合

アステロイド（星芒形）の場合

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