シュワルツの不等式（積分）の証明（覚えるべき）

ここでは、シュワルツの不等式（積分）の証明をする。

シュワルツの不等式とは？（積分）

$\lbrack a,b\rbrack$ で $f\left( x\right) ,g\left( x\right)$ が連続であるとき

$\displaystyle\left( \int ^{b}_{a}f\left( x\right) g\left( x\right) dx\right) ^{2}\leq \left( \int _{a}^{b}f\left( x\right) ^{2}dx\right) \left( \int ^{b}_{a}g\left( x\right) ^{2}dx\right)$

上の不等式である。

見るだけでめんどうな気がしてならない不等式だが、証明せよと言われたら難しい。

自力で考えていってもよいが、ぶっちゃけ覚えゲーなので全部ここに載せておくことにする。

証明

上の不等式を示すために、
$\left( tf\left( x\right) +g\left( x\right) \right) ^{2} >0$ を使う。
（どこから出てきたんだよとツッコミたいところだが、これは後で判別式を使うため）

次に上を使って

$\displaystyle\begin{aligned}0\leq \int _{a}^{b}\left( tf\left( x\right) +g\left( x\right) \right) ^{2}dx=\int ^{b}_{a}( t^{2}f\left( x\right) +2tf\left( x\right) g\left( x\right) +g\left( x\right) ^{2}) dx\end{aligned}$

判別式を使うために、
$\displaystyle A=\int _{a}^{b}f\left( x\right) ^{2}dx$
$\displaystyle B=\int _{a}^{b}f\left( x\right) g\left( x\right) dx$
$\displaystyle C=\int _{a}^{b}g\left( x\right) ^{2}dx$
とおく。

$At^{2}+2Bt+C^{2}\geq 0$ とわかる。
あとは判別式を使って、 $B^{2}-AC\geq 0$ なので、
求める不等式

$\displaystyle\left( \int ^{b}_{a}f\left( x\right) g\left( x\right) dx\right) ^{2}\leq \left( \int _{a}^{b}f\left( x\right) ^{2}dx\right) \left( \int ^{b}_{a}g\left( x\right) ^{2}dx\right)$

が得られる。

というわけ。
覚えゲーだね。

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