【線形代数】エルミート行列の対角成分は実数であることを示す

はじめに
エルミート行列の対角成分は実数
おまけ（エルミート行列であることを示す）
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はじめに

ここではエルミート行列の対角成分は実数であることを示します。
この下で早速解いていくので、先にやっておくことを勧めます。

エルミート行列の対角成分は実数

エルミート行列は $\mathrm{Def}$ より、
$A^{\ast }=A$ であった。

つまり、成分を $A=\left( a_{ij}\right)$ としたとき、
$\overline{a_{ji}}=a_{ij}$ となる。
対角成分は $a_{ii}$ なので、
$\overline{a_{ii}}=a_{ii}$

これを満たすのは実数のみ。
よって示せた。
下でエルミート行列の記事で扱った問と解答を再掲する。
練習ついでに解いてほしい。

おまけ（エルミート行列であることを示す）

$AA^{\ast }$ はエルミート行列か？

解：
$\left( AA^{\ast }\right) ^{\ast }=\left( A^{\ast }\right) ^{\ast }A^{\ast }=AA^{\ast }$

よってエルミート行列である。
この問いは下の記事でもやっているのでよかったら。
dodgson.hatenablog.com

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初学者向け⇩
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