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【複素関数】(1+i)^iと(1+i)^(1+i)を求めよう


ここでは、\left( 1+i\right) ^{i}\left( 1+i\right) ^{1+i}を求めます。
高校数学(+大学の複素関数)のよい復習になるはずなので一緒にやってみましょう。

下で早速解説していくので、解ける方は先に解いておくことを勧めます。

(1+i)^i

ポイントはiを消すことです。
\left( 1+i\right) ^{i}からやってみましょう。


\left( 1+i\right) ^{i}=e^{i\log \left( 1+i\right) }なので、
i\log \left( 1+i\right)を崩す方向でいきましょう。

1+i=\sqrt{2}e^{\left( \frac{\pi }{4}+2n\pi \right) i}
なので、
\log \left( 1+i\right) =\log \sqrt{2}+\left( \dfrac{\pi }{4}+2n\pi \right) i
ですので、
i\log \left( 1+i\right) =-\left( \dfrac{\pi }{4}+2n\pi \right) +i\log \sqrt{2}
と、ここまでできます。

まだiが残っているので、続きます。

あとはe^{i\log \sqrt{2}}をどうするか、です。
復習ですが、
e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \thetaでした。

なので、この場合、
e^{i\log \sqrt{2}}=\cos \left( \log \sqrt{2}\right) +i\sin \left( \log \sqrt{2}\right)
とできます。

これでiは消えました。

よって、求める解は、

\left( 1+i\right) ^{i}=e^{-\left( \frac{\pi }{4}+2n\pi \right) }\left( \cos \left( \log \sqrt{2}\right) +i\sin \left( \log \sqrt{2}\right) \right),(n\in \mathbb{Z})

です。

(1+i)^(1+i)

\left( 1+i\right) ^{1+i}を求めてみましょう。

練習問題としますので、ここでは解のみを載せておきます。


\begin{aligned}\left( 1+i\right) ^{1+i}=e^{-\left( \frac{\pi }{4}+2n\pi \right) }\left( \cos \left( \log \sqrt{2}\right) -\sin \left( \log \sqrt{2}\right) \right) +i\left( \cos \left( \log \sqrt{2}\right) +\sin \left( \log \sqrt{2}\right) \right) \end{aligned}
,(n\in \mathbb{Z})

です。

LaTeXでやると超長くて疲れますね…!

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おわりに

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