【複素関数】(1+i)^iと(1+i)^(1+i)を求めよう

ここでは、 $\left( 1+i\right) ^{i}$ と $\left( 1+i\right) ^{1+i}$ を求めます。
高校数学（＋大学の複素関数）のよい復習になるはずなので一緒にやってみましょう。

下で早速解説していくので、解ける方は先に解いておくことを勧めます。

(1+i)^i
(1+i)^(1+i)
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おわりに

(1+i)^i

ポイントは $i$ を消すことです。
$\left( 1+i\right) ^{i}$ からやってみましょう。

$\left( 1+i\right) ^{i}=e^{i\log \left( 1+i\right) }$ なので、
$i\log \left( 1+i\right)$ を崩す方向でいきましょう。

$1+i=\sqrt{2}e^{\left( \frac{\pi }{4}+2n\pi \right) i}$
なので、
$\log \left( 1+i\right) =\log \sqrt{2}+\left( \dfrac{\pi }{4}+2n\pi \right) i$
ですので、
$i\log \left( 1+i\right) =-\left( \dfrac{\pi }{4}+2n\pi \right) +i\log \sqrt{2}$
と、ここまでできます。

まだ $i$ が残っているので、続きます。

あとは $e^{i\log \sqrt{2}}$ をどうするか、です。
復習ですが、
$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ でした。

なので、この場合、
$e^{i\log \sqrt{2}}=\cos \left( \log \sqrt{2}\right) +i\sin \left( \log \sqrt{2}\right)$
とできます。

これで $i$ は消えました。

よって、求める解は、

$\left( 1+i\right) ^{i}=e^{-\left( \frac{\pi }{4}+2n\pi \right) }\left( \cos \left( \log \sqrt{2}\right) +i\sin \left( \log \sqrt{2}\right) \right)$ ,( $n\in \mathbb{Z}$ )

です。

(1+i)^(1+i)

$\left( 1+i\right) ^{1+i}$ を求めてみましょう。

練習問題としますので、ここでは解のみを載せておきます。

$\begin{aligned}\left( 1+i\right) ^{1+i}=e^{-\left( \frac{\pi }{4}+2n\pi \right) }\left( \cos \left( \log \sqrt{2}\right) -\sin \left( \log \sqrt{2}\right) \right) +i\left( \cos \left( \log \sqrt{2}\right) +\sin \left( \log \sqrt{2}\right) \right) \end{aligned}$
,( $n\in \mathbb{Z}$ )

です。

※LaTeXでやると超長くて疲れますね…！

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【複素関数】(1+i)^iと(1+i)^(1+i)を求めよう

(1+i)^i

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