【簡単】ド・モアブルの定理と数学的帰納法による証明

はじめに
ド・モアブルの定理とは？
数学的帰納法での証明
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はじめに

ここでは、ド・モアブルの定理（公式）の数学的帰納法の証明をします。
※スマホから見ている場合は、長い数式は横にスライドして見ることができます。

ド・モアブルの定理とは？

$\left( \cos \theta +i\sin \theta \right) ^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta$
これをド・モアブルの定理（公式）という。
以下でしっかりと証明するが、ざっくりいうと、

$\left( \cos \theta +i\sin \theta \right) \left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right) =\cos \left( \theta +\varphi \right) +i\sin \left( \theta +\varphi \right)$

上式を繰り返すだけだ。
中の計算がどうなっているかは、加法定理を使えばわかる。
自信が無いなら次の証明に進む前に確認してほしい。

数学的帰納法での証明

$n=1$ のときはそのままなのでOK
$n$ のとき成立すると仮定すると

$\begin{aligned}\left( \cos \theta +i\sin \theta \right) ^{n+1}&=\left( \cos n\theta +i\sin n\theta \right) \left( \cos \theta +i\sin \theta \right)& \\ &=\cos \left( n\theta +\theta \right) +i\sin \left( n\theta +\theta \right) &\\ &=\cos \left( n+1\right) \theta +i\sin \left( n+1\right) \theta &\end{aligned}$

$n+1$ のときも成立。（終）

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