【ε-N論法＆ε-δ論法#1】数列の極限（問題練習,極限の一意性＆はさみうち等）

ここでは、ε-N論法＆ε-δ論法の数列の極限に関する確認をする。

数列の収束と発散
全称記号と存在記号について
例：はさみうちの原理
- 証明
よく見る例で練習
極限の一意性
証明
大学生必見！
おわりに＆おすすめ

数列の収束と発散

$\{a_{n}\}$ を数列とする。

数列が収束するとは
任意の $\varepsilon >0$ に対して、ある $N\in \mathbb{N}$ が存在し、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対して、
$n\geq N\Rightarrow \left| a_{n}-\alpha \right| ＜\varepsilon$ となるとき、 $\{a_{n}\}$ は $\alpha$ に収束するという。
上を
$\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\alpha$ または、 $a_{n}\overset{n \rightarrow \infty}\longrightarrow \alpha$
と表す。

数列が発散するとは
$\{a_{n}\}$ が収束しない時、発散するという。

全称記号と存在記号について

『任意の $\varepsilon >0$ に対して』を $\forall \varepsilon >0$ と表すこともある。
この $\forall$ を全称記号という。

『ある $N\in \mathbb{N}$ が存在し』を $\exists N\in \mathbb{N}$ と表すこともある。
この $\exists$ を存在記号という。

以下では、これらの記号を使うことにする。

例：はさみうちの原理

数列 $\{a_{n}\}$ , $\{b_{n}\}$ , $\{c_{n}\}$ に対して、 $\{a_{n}\}$ , $\{b_{n}\}$ が $\alpha$ に収束するとし、
任意の $n \in \mathbb{N}$ に対し、 $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ が成立するとする。
このとき、 $\{c_{n}\}$ は $\alpha$ に収束する。

証明

$\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\alpha ,\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}=\alpha$ より、
次が成立する。

$\forall \varepsilon >0\,\exists N_{0}\in \mathbb{N} \,\forall n\in \mathbb{N} [ n\geq N_{0}\Rightarrow \left| a_{n}-\alpha \right| ＜ \varepsilon ]$ ･･･①

$\forall \varepsilon >0\,\exists N_{1}\in \mathbb{N} \,\forall n\in \mathbb{N} [ n\geq N_{1}\Rightarrow \left| b_{n}-\alpha \right| ＜ \varepsilon ]$ ･･･②

ここで、任意の $\varepsilon >0$ に対して、 $N=\max\{N_{0},N_{1}\}$ ととると、 $N \in \mathbb{N}$ であり、仮定より
$n\geq N$ ならば、
①より、 $a_{n} ＜\varepsilon +\alpha$ であるので、 $c_{n} ＜\varepsilon +\alpha$
②より、 $-\varepsilon +\alpha ＜b_{n}$ であるので、 $-\varepsilon +\alpha ＜c_{n}$

である。すなわち、
$\left| c_{n}-\alpha \right| ＜\varepsilon$
が成立する。

よって、 $\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }c_{n}=\alpha$ が成立する。

よく見る例で練習

数列 $\{a_{n}\}$ , $\{b_{n}\}$ に対して、 $\{a_{n}\}$ が $\alpha$ に収束し、 $\{b_{n}\}$ が $\beta$ に収束するとする。
また、 $c$ を定数とする。

このとき、下の①,②,③を示せ。

① $\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }\left( a_{n}+b_{n}\right) =\alpha +\beta$

② $\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }\left( a_{n}-b_{n}\right) =\alpha -\beta$

③ $\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }ca_{n}=c\alpha$

メモ：下の証明で略した部分がある。詳しくは動画の説明にて。

証明①

$\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\alpha$ , $\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}=\beta$ より、
次が成立する。

$\forall \varepsilon >0\,\exists N_{0}\in \mathbb{N} \,\forall n\in \mathbb{N} [ n\geq N_{0}\Rightarrow \left| a_{n}-\alpha \right| ＜ \dfrac{\varepsilon }{2} ]$

$\forall \varepsilon >0\,\exists N_{1}\in \mathbb{N} \,\forall n\in \mathbb{N} [ n\geq N_{1}\Rightarrow \left| b_{n}-\beta \right| ＜ \dfrac{\varepsilon }{2} ]$

ここで、任意の $\varepsilon >0$ に対して、 $N=\max\{N_{0},N_{1}\}$ ととると、 $N \in \mathbb{N}$ であり、
$n\geq N$ ならば、
$\begin{aligned}\left| \left( a_{n}+b_{n}\right) -\left( \alpha +\beta \right) \right| &\leq \left| a_{n}-\alpha \right| +\left| b_{n}-\beta \right|& \\ &＜\dfrac{\varepsilon }{2}+\dfrac{\varepsilon }{2}=\varepsilon &\end{aligned}$

よって、
$\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }\left( a_{n}+b_{n}\right) =\alpha +\beta$
が成立する。

証明②

①と同様に示すことができるため省略。
以下の点に注意すれば示すことができる。

$\begin{aligned}\left| \left( a_{n}-b_{n}\right) -\left( \alpha -\beta \right) \right| &=\left| \left( a_{n}-\alpha \right) +\left( -\left( b_{n}-\beta \right) \right) \right|& \\ &\leq \left| a_{n}-\alpha \right| +\left| b_{n}-\beta \right|& \\ &＜\dfrac{\varepsilon }{2}+\dfrac{\varepsilon }{2}=\varepsilon& \end{aligned}$

証明③

$c=0$ のときは明らかに成立するので、 $c\neq0$ の場合について示せばよい。

$\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\alpha$ より、次が成立する。

$\forall \varepsilon >0\,\exists N_{0}\in \mathbb{N} \,\forall n\in \mathbb{N} [ n\geq N_{0}\Rightarrow \left| a_{n}-\alpha \right| ＜ \varepsilon_{0} ]$

ここで、任意の $\varepsilon >0$ に対して、 $\varepsilon _{0}=\dfrac{\varepsilon }{\left| c\right| }$ とおく。
$N=N_{0}$ とすると、 $N \in \mathbb{N}$ である。

上より、次が成立する。
$n\geq N$ ならば、
$\begin{aligned}\left| ca_{n}-c\alpha \right| &=\left| c\right| \left| a_{n}-\alpha \right| &\\ &＜\left| c\right| \cdot \dfrac{\varepsilon }{\left| c\right| }=\varepsilon &\end{aligned}$

よって、
$\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }ca_{n}=c\alpha$
が成立する。

極限の一意性

$\{a_{n}\}$ の極限が存在するなら、その極限は唯一つである（一意的である）。
つまり、
$\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\alpha$
$\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\beta$
であるとすると、
$\alpha=\beta$
である。

証明

$\alpha \neq \beta$ とする。

$\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\alpha$
$\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\beta$
より、次が成立する。

$\forall \varepsilon >0\,\exists N_{0}\in \mathbb{N} \,\forall n\in \mathbb{N} [ n\geq N_{0}\Rightarrow \left| a_{n}-\alpha \right| ＜ \varepsilon ]$

$\forall \varepsilon >0\,\exists N_{1}\in \mathbb{N} \,\forall n\in \mathbb{N} [ n\geq N_{1}\Rightarrow \left| a_{n}-\beta \right| ＜ \varepsilon ]$

$\varepsilon$ は任意であるため、 $\varepsilon=\dfrac{\left| \alpha -\beta \right| }{2}$ ととることにする。
また、 $N=\max \left\{ N_{0},N_{1}\right\}$ とおくと $N \in \mathbb{N}$ である。

よって、 $n\geq N$ ならば、
$\begin{aligned}\left| \alpha -\beta \right| &=\left| \alpha -a_{n}+a_{n}-\beta \right|& \\ &=\left| \alpha -a_{n}\right| +\left| a_{n}-\beta \right|& \\ &＜\dfrac{\left| \alpha -\beta \right| }{2}+\dfrac{\left| \alpha -\beta \right| }{2}=\left| \alpha -\beta \right|& \end{aligned}$

$\left| \alpha -\beta \right| ＜\left| \alpha -\beta \right|$ は矛盾している。
したがって、 $\alpha = \beta$ である。

以上より、収束するならば、極限は唯一つである。

おわり。
※次#2に続く。
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