【指数関数・対数関数】2^30の桁数の求め方と常用対数【その他：(0.2)^30について調べる】

ここでは、指数関数・対数関数の問題練習をします。
動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。

【問題】
① $2^{30}$ の桁数を求めましょう。
② $(0.2)^{30}$ は小数第何位に初めて0でない数となるか求めましょう。
ただし、 $\log _{10} 2=0.3010$ とします。

【追記】常用対数の練習となります。2^10で考える問ではありません。

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①から解いていきます。

$\log _{10}2^{30}=30\log _{10}2=9.0300$
ですので、

$9 ＜\log _{10}2^{30} ＜10$
となります。

よって、
$10^{9} ＜2^{30} ＜10^{10}$
より、

解①： $2^{30}$ は10桁である
とわかります。

次に、②を解きます。

$\begin{aligned}\log _{10}\left( 0.2\right)^{30} &=30\log _{10}0.2&\\&= 30\left( -1+\log_{10} 2\right) = -30+9.0300&\\ &=-20.97&\end{aligned}$
ですので、

$-21 ＜\log_{10} \left( 0.2\right)^{30} ＜-20$
となります。

よって、
$10^{-21} ＜\left( 0.2\right) ^{30} ＜10^{-20}$
より、

解②： $(0.2) ^{30}$ は小数第21位に初めて0でない数となる
とわかります。

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