【高校・大学数学】覚えると便利な積分問題（公式）

ここでは、積分の問題練習をします。
動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。
※記事後半に、おまけ問題と、その解答解説があります。

問題
動画解説（YouTube）
解き方
おまけ問題
- おまけ問題の解

問題

$\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$ を求めよう。

動画解説（YouTube）

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解き方

まずは
$x=\sin t , ( -\dfrac{\pi }{2} ＜t ＜ \dfrac{\pi }{2})$
とおきましょう。

このとき、 $\cos t >0$ ですので、
$\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-\sin ^{2}t}=\cos t,dx=\cos tdt$
となります。

よって、
$\begin{aligned}\int \dfrac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}&=\int \dfrac{\cos tdt}{\cos t}&\\ &=\int dt&\\ &=t=\sin ^{-1}x+C&\end{aligned}$

と求まります。

おまけ問題

上を求めましょう。

おまけ問題の解

$\begin{aligned}\int \tan xdx&=\int \dfrac{\sin x}{\cos x}dx&\\ &=\int \dfrac{-\left( \cos x\right) '}{\cos x}dx&\\ &=-\log \left| \cos x\right| &\end{aligned}$

と求めることができます。
対数微分法を使います。

おわり。今回はここまで。
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