【高校・大学数学】覚えると便利な積分問題（tan^3）

ここでは、積分の問題練習をします。
動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。

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$\displaystyle\int \tan ^{3}x\,dx$ を求めよう。

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$\displaystyle\int \tan ^{3}x\,dx$ について。

$1+\tan ^{2}x=\dfrac{1}{\cos ^{2}x}$ より、
$\tan ^{2}x=\dfrac{1}{\cos ^{2}x}-1$ であることに注意します。

このとき、

$\begin{aligned}\int \tan ^{3}xdx=\int \tan x\left( \dfrac{1}{\cos ^{2}x}-1\right) dx\\ =\int \dfrac{\tan x}{\cos ^{2}x}dx-\int \tan xdx\end{aligned}$

とできます。

ここで、 $t=\tan x$ とおくと、 $dt=\dfrac{dx}{\cos ^{2}x}$
ですので、
$\begin{aligned}\int \dfrac{\tan x}{\cos ^{2}x}dx&=\int tdt&\\ &=\dfrac{t^{2}}{2}=\dfrac{\tan ^{2}x}{2}&\end{aligned}$
と求まります。

また、
$\begin{aligned}\int \tan xdx=-\int \dfrac{\left( \cos x\right) '}{\cos x}dx\\ =-\log \left| \cos x\right| \end{aligned}$
より、

$\int \tan ^{3}xdx=\dfrac{\tan ^{2}x}{2}+\log \left| \cos x\right|+C$ と求まります。

別のやり方
$\displaystyle\int \tan ^{3}xdx=\int \dfrac{\sin ^{3}x}{\cos ^{3}x}dx$
とするやり方もあります。

この場合、
$\begin{aligned}&\int \tan ^{3}xdx=\int \dfrac{\sin ^{3}x}{\cos ^{3}x}dx&\\ &=\int \dfrac{\left( 1-\cos ^{2}x\right) \sin x}{\cos ^{3}x}dx&\\ &=\int \dfrac{t^{2}-1}{t^{3}}dx&\end{aligned}$
となり、最後の積分より、
$\begin{aligned}\int \dfrac{t^{2}-1}{t^{3}}dt=\log \left| t\right| +\dfrac{1}{2t^{2}}+C\\ =\log \left| \cos x\right| +\dfrac{1}{2\cos ^{2}x}+C\end{aligned}$
と求まります。

もちろんこれでもよいですが、
$1+\tan ^{2}x=\dfrac{1}{\cos ^{2}x}$
と、任意定数Cを使い、
$\int \tan ^{3}xdx=\dfrac{\tan ^{2}x}{2}+\log \left| \cos x\right|+C$
としてもOKです。
※１をCの中にねじ込む手法です。

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