【確率論】確率における独立と条件付き確率との関係（動画解説付き）

ここでは、確率における独立と条件付き確率との関係について確認し、証明します。
動画でも解説しますので、よければそちらも見てください。

動画で解説（YouTube）
確率における独立
独立であるときの条件付き確率
例題：コイントス
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確率における独立

事象 $A,B$ に対し、
$P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) P\left( B\right)$ が成立するとき、
互いに独立といいます。

また、事象の列 $A_{1},A_{2},\ldots$ から、
任意有限個の事象 $A_{i_{1}},A_{i_{2}},\ldots ,A_{i_{k}}( i_{1} ＜i_{2} ＜\ldots ＜ i_{k})$ をとり、
$P\left( \bigcap _{k=1}A_{i_{k}}\right) =\prod _{k=1}P\left( A_{i_{k}}\right)$
となるとき、これらの事象は独立であるといいます。

独立であるときの条件付き確率

条件付き確率は、 $P\left( A| B\right) =\dfrac{P\left( A\cap B\right) }{P\left( B\right) }$ でした。
これに $A$ と $B$ が独立という条件が加われば、

$P\left( A| B\right) =\dfrac{P\left( A\cap B\right) }{P\left( B\right) }=\dfrac{P\left( A\right) P\left( B\right) }{P\left( B\right) }=P\left( A\right)$

上のようにできます。

例題：コイントス

コイントス（不正）で確率の独立を調べてみましょう。

問：
・Xコインは表裏共に出る確率は等しいとします。
しかしYコインはXコインと同じ面が出る確率が $\frac{1}{5}$ となるように作られています。
また、Xコインで表が出る事象をAとし、Yコインで表が出る事象をBとします。
このとき、AとBが独立かどうか調べましょう

解：
$P\left( A\cap B\right) =\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{10}$
です。

次に、
$P\left( B\right) =\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{4}{5}=\dfrac{1}{2}$
であることに注意すると、
$P\left( A\right) P\left( B\right) =\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$
となります。