【高校・大学数学】極限の問題練習#2

ここでは、極限の問題練習をします。
動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。

問題
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問題

$\displaystyle\lim _{x\rightarrow +0}\left( \dfrac{1}{\sin x}\right) ^{x}$ を求めよう。

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解き方

$\displaystyle\lim _{x\rightarrow +0}\left( \dfrac{1}{\sin x}\right) ^{x}=\lim _{x\rightarrow +0}\dfrac{1}{\left( \sin x\right) ^{x}}$
より、
$\displaystyle\lim _{x\rightarrow +0}\left( \sin x\right) ^{x}$ について考えればよい。

ここで、
$\displaystyle\lim _{x\rightarrow +0}\left( \sin x\right) ^{x}=\lim _{x\rightarrow +0}\left( \left( \sin x\right) ^{\sin x}\right) ^{\frac{x}{\sin x}}$
として考えるのがポイントです。

次に、この $\displaystyle\lim _{x\rightarrow +0}\left( \sin x\right) ^{\sin x}$ について、

$\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow +0}\left( \sin x\right) ^{\sin x}&=\lim _{\sin x\rightarrow +0}\left( \sin x\right) ^{\sin x}&\\&=\lim _{y\rightarrow +0}y^{y}&\end{aligned}$

と置き換えます。初見では厳しいかもしれませんね。

$\displaystyle\lim _{y\rightarrow +0}y^{y}=1$ ･･･①
ですので、
$\displaystyle\lim _{x\rightarrow +0}\left( \sin x\right) ^{\sin x}=1$
より、
$\displaystyle\lim _{x\rightarrow +0}\left( \sin x\right) ^{x}$
もまた $1$ です。