【高校・大学数学】極限の問題練習#1

ここでは、極限の問題練習をします。
動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。

問題
動画解説（YouTube）
解き方
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問題

$\displaystyle\lim _{x\rightarrow \infty }\left( \frac{a^{x}+b^{x}}{2}\right) ^{\dfrac{1}{x}},( a\geq b > 0)$ を求めよう。

動画解説（YouTube）

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解き方

解き方を覚えることが大事です。知らずとも解けなくはないですが、その場合少し時間が掛かるかもしれません。
※スマホの方は数式を横にスライドして見てください。

$\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow \infty }\left( \dfrac{a^{x}+b^{x}}{2}\right) ^{\frac{1}{x}}&=\lim _{x\rightarrow \infty }\frac{\left( a^{x}\left( 1+\frac{b^{x}}{a^{x}}\right) \right) ^{\frac{1}{x}}}{2^{\frac{1}{x}}}&\\ &=\lim _{x\rightarrow \infty }\frac{a\left( 1+\frac{b^x}{a^x}\right) ^{\frac{1}{x}}}{2^{\frac{1}{x}}}&\\&=\lim _{x\rightarrow \infty }\frac{a\left( 1+\left( \frac{b}{a}\right)^x\right) ^\frac{1}{x}}{2^{\frac{1}{x}}}&\end{aligned}$