【確率論】単調極限定理＆確率の連続性とは？証明付き

ここでは、単調極限定理＆確率の連続性について確認し、証明します。
動画でも解説しますので、よければそちらも見てください。
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【確率論】確率の性質【劣加法性】証明付き - ドジソンの本棚

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準備（前提知識）
単調極限定理とは
- 証明
確率の連続性とは
- 証明
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準備（前提知識）

証明の前に下の $Def$ を確認しておきましょう。

事象の列 $A_{1},A_{2},\ldots$ が単調増加であるとき、すなわち $A_{n}\subset A_{n+1}$ であるならば、
$\displaystyle A_{n}=\bigcup ^{n}_{i=1}A_{i}$ であるので、
その極限を
$\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\bigcup ^{\infty }_{i=1}A_{i}$
と $Def$ します。

また、事象の列 $A_{1},A_{2},\ldots$ が単調減少であるとき、すなわち $A_{n}\supset A_{n+1}$ であるならば、
$\displaystyle A_{n}=\bigcap ^{n}_{i=1}A_{i}$ であるので、
その極限を
$\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\bigcap ^{\infty }_{i=1}A_{i}$
と $Def$ します。

次に、上極限、下極限は次のように $Def$ されます。
$\displaystyle\limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\bigcap ^{\infty }_{n=1}\bigcup ^{\infty }_{i=n}A_{i}$

$\displaystyle\liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\bigcup ^{\infty }_{n=1}\bigcap ^{\infty }_{i=n}A_{i}$

確認が済みましたので、証明に移ります。

単調極限定理とは

事象の列 $A_{1},A_{2},\ldots$ に対し、単調列ならば
$\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }P\left( A_{n}\right) =P\left( \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}\right)$
が成立し、これを単調極限定理という。
もっと言えば、確率の連続性での単調極限定理である。

証明

①単調増加列の場合
単調増加列である $\left\{ A_{n}\right\}$ を取り、 $B_{n}=A_{n}-A_{n-1}( n= 2,3,\ldots )$ とする。

このとき、 $B_{n}$ は互いに排反となり、また $\displaystyle\bigcup ^{\infty }_{n=1}A_{n}=\bigcup ^{\infty }_{n=1}B_{n}$ ･･･(i)
であることに注意する。

σ加法性より、 $P\left( B_{n}\right) =P\left( A_{n}\right) -P\left( A_{n-1}\right)$ が成立するので、

$\begin{aligned}P\left( \bigcup ^{\infty }_{n=1}B_{n}\right) &=\sum ^{\infty }_{n=1}P\left( B_{n}\right)& \\ &=\lim _{n\rightarrow \infty }\left( \sum ^{n}_{j=2}\left( P\left( A_{j}\right) -P\left( A_{j-1}\right) \right) +P\left( A_{1}\right) \right)& \\ &=\lim _{n\rightarrow \infty }P\left( A_{n}\right)& \end{aligned}$

(i)と単調増加列における極限の $Def$ より、
上の結果とあわせて、 $\displaystyle P\left( \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}\right) =\lim _{n\rightarrow \infty }P\left( A_{n}\right)$ が得られる。

②単調減少列の場合
余事象を取ればよい。
このとき、 $P\left( A_{n}^{c}\right) =1-P\left( A_{n}\right)$ であり、
また、
$\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }P\left( A_{n}^{c}\right) &=P\left( \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}^{c}\right)& \\ &=P\left( \bigcup ^{\infty }_{n=1}A_{n}^{c}\right)& \\ &=P\left( \left( \bigcap ^{\infty }_{n=1}A_{n}\right) ^{c}\right)& \\&=1-P\left( \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}\right)& \end{aligned}$
であるので、 $\displaystyle P\left( \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}\right) =\lim _{n\rightarrow \infty }P\left( A_{n}\right)$ が得られる。

よって単調極限定理を示せた。

確率の連続性とは

極限を持つならば、すなわち $\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=A$ であるならば、
$\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }P\left( A_{n}\right) =P\left( A\right)$ が成立する。

これを確率の連続性という。単調性を必要としない点が上との違いである。

証明

ポイントは、極限を持つということである。
まず下極限から見ていくと、

$\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\bigcup ^{\infty }_{n=1}\bigcap ^{\infty }_{i=n}A_{i}=\lim _{n\rightarrow \infty }\bigcap ^{\infty }_{i=n}A_{i}$

である。

また、 $\displaystyle\left( \bigcap ^{\infty }_{i=n}A_{i}\right) \subset A_{n}$ であり、
このとき、 $\displaystyle P\left( \bigcap ^{\infty }_{i=n}A_{i}\right) \leq P\left( A_{n}\right)$ となることに注意する。

この $\displaystyle\bigcap ^{\infty }_{i=n}A_{i}$ は単調増加であるので、単調極限定理より、

$\displaystyle P\left( \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}\right) =\lim _{n\rightarrow \infty }P\left( \bigcap ^{\infty }_{i=n}A_{i}\right) \leq \lim _{n\rightarrow \infty }P\left( A_{n}\right)$

逆も同様にして示すことができる。
$\displaystyle\bigcup ^{\infty }_{i=n}A_{i}$ は単調減少であるので、単調極限定理より、

$\displaystyle P\left( \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}\right) =\lim _{n\rightarrow \infty }P\left( \bigcap ^{\infty }_{i=n}A_{i}\right) \geq \lim _{n\rightarrow \infty }P\left( A_{n}\right)$