【確率論】確率の性質【劣加法性】証明付き

ここでは、確率の劣加法性について確認し、証明をします。
動画でも解説しますので、よければそちらも見てください。

確率の劣加法性
ポイント
動画で解説（YouTube）
証明
おわりに＆おすすめ

確率の劣加法性

事象の列 $A_{1},A_{2},\ldots$ に対し、次が成立する。
$\displaystyle P\left( \bigcup ^{\infty }_{n=1}A_{n}\right) \leq \sum ^{\infty }_{n=1}P\left( A_{n}\right)$

これを確率の劣加法性という。

ポイント

事象の列 $A_{1},A_{2},\ldots$ に対し、
互いに排反ならば、次が成立する。

$\displaystyle P\left( \bigcup ^{\infty }_{n=1}A_{n}\right) = \sum ^{\infty }_{n=1}P\left( A_{n}\right)$

※σ加法性という。

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証明

※スマホの方：数式は横にスライドして見れます。
《証明》
互いに排反となるような事象の列を下のように作る。

$B_{1}=A_{1},B_{2}=A_{2}-A_{1},B_{3}=A_{3}-\left( A_{1}\cup A_{2}\right) ,\ldots$

このとき、
$B_{n}\subset A_{n}$ なので、確率の単調性より（≫前回確認した）、
$P\left( B_{n}\right) \leq P\left( A_{n}\right)$ である。

また、 $\displaystyle\bigcup ^{\infty }_{n=1}A_{n}=\bigcup ^{\infty }_{n=1}B_{n}$ である。

よって、

$\displaystyle P\left( \bigcup ^{\infty }_{n=1}A_{n}\right) =P\left( \bigcup ^{\infty }_{n=1}B_{n}\right) =\sum ^{\infty }_{n=1}P\left( B_{n}\right) \leq \sum ^{\infty }_{n=1}P\left( A_{n}\right)$

です。証明終わり。
動画ではもう少し詳しく解説していますので、そちらも参考にしてください。

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dodgson.hatenablog.com

おわりに＆おすすめ

最後に、大学数学のおすすめ参考書まとめの記事を紹介します。
当サイトで人気記事となっていますので、よければ読んでみてください。

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『大学数学記事まとめ』は下から！
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