【高校・大学数学】広義積分とロピタルの定理の問題練習をしよう

ここでは広義積分（＋ロピタルの定理）の問題練習をします。
動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。

問題
動画解説（YouTube）
解き方
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問題

$\displaystyle\int ^{\infty }_{0}\log \left( 1+\dfrac{1}{x^{2}}\right) dx$ を求めよう。

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解き方

それでは解いていきましょう。
部分積分。途中までは難なく進めるはずです。

$\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\log \left( 1+\dfrac{1}{x^{2}}\right) dx=\int _{0}^{\infty }\left( x\right) '\log \left( 1+\dfrac{1}{x^{2}}\right) dx&\\ &=\lbrack x\log \left( 1+\dfrac{1}{x^{2}}\right) \rbrack _{0}^{\infty }-\int _{0}^{\infty }x\dfrac{\left( 1+\dfrac{1}{x^{2}}\right) '}{\left( 1+\dfrac{1}{x^{2}}\right) }dx&\\&=\lbrack x\log \left( 1+\dfrac{1}{x^{2}}\right) \rbrack _{0}^{\infty }+\int ^{\infty }_{0}\dfrac{2}{x^{2}+1}dx&\end{aligned}$

まず、
$\lbrack x\log \left( 1+\dfrac{1}{x^{2}}\right) \rbrack _{0}^{\infty }$ を求めましょう。
$\infty$ と $0$ で直観で $0$ となることはわかりますが、せっかくですので、しっかりと計算してみましょう。

そうすると、ロピタルの定理を使う必要が出てきます。
$x$ を $\dfrac{1}{x}$ とすることがポイントです。

$\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow \infty }x\log \left( 1+\dfrac{1}{x^{2}}\right) &=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac{\log \left( 1+\dfrac{1}{x^{2}}\right) }{\dfrac{1}{x}}&\\ &=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac{2x}{x^{2}+1}&\\&=0&\end{aligned}$

途中、 $\dfrac{0}{0}$ 型ロピタルの定理を使っています。

また、

$\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow 0 }x\log \left( 1+\dfrac{1}{x^{2}}\right) &=\lim _{x\rightarrow 0 }\dfrac{\log \left( 1+\dfrac{1}{x^{2}}\right) }{\dfrac{1}{x}}&\\ &=\lim _{x\rightarrow 0 }\dfrac{2x}{x^{2}+1}&\\&=0&\end{aligned}$