【ε-δ】x^2の一様連続性を確認する（動画解説付き）

ここでは、x^2の一様連続性を確認します。
動画でも解説しますので、よければそちらも見てください。

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問題

$x^2$ の一様連続性を調べよう。
※区間 $(0,1)$ と区間 $(0,\infty)$ で考えよう。

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【ε-δ】x^2の一様連続性かどうかを調べよう（大学数学） - YouTube

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解：

区間 $(0,1)$ と区間 $(0,\infty)$ で考えます。

まずは、 $0\leq x_{2} ＜x_{1}$ とします。

ここで、区間 $(0,\infty)$ で考えると、
$\left| x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right| =\left| x_{1}-x_{2}\right| \left| x_{1}+x_{2}\right| >2x_{2}\left| x_{1}-x_{2}\right|$
となりますので、
$\left| x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right| <\varepsilon$ であるとすると、
$\left| x_{1}-x_{2}\right| <\dfrac{\varepsilon }{2x_{2}}$ とできることがわかります。

しかしながら、上で $x_{2}\rightarrow \infty$ とすると $0$ となるので、
$\left| x_{1}-x_{2}\right| <\delta \Rightarrow \left| x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right| <\varepsilon$
となるための $\delta ＞0$ を作ることができません。

つまり区間 $(0,\infty)$ では一様連続ではないとわかります。

ただし、区間 $(0,1)$ の場合、
$\left| x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right| =\left| x_{1}+x_{2}\right| \left| x_{1}-x_{2}\right| <2\left| x_{1}-x_{2}\right|$
とできますので、
$\left| x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right| <\varepsilon$ であるとすると、
$\delta =\dfrac{\varepsilon }{2}$ ととることで、
$\left| x_{1}-x_{2}\right| <\delta \Rightarrow \left| x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right| <\varepsilon$
が言えます。

つまり、区間 $(0,1)$ ならば一様連続だとわかります。

おわり。
その他、例えば $\sin x$ について調べるのも面白いです。
※下の動画で解説しています。
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