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【ε-δ】x^2の一様連続性を確認する(動画解説付き)


ここでは、x^2の一様連続性を確認します。
動画でも解説しますので、よければそちらも見てください。

問題

x^2の一様連続性を調べよう。
区間(0,1)区間(0,\infty)で考えよう。

解:

区間(0,1)区間(0,\infty)で考えます。

まずは、0\leq x_{2} <x_{1}とします。

ここで、区間(0,\infty)で考えると、
\left| x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right| =\left| x_{1}-x_{2}\right| \left| x_{1}+x_{2}\right| >2x_{2}\left| x_{1}-x_{2}\right|
となりますので、
\left| x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right| <\varepsilonであるとすると、
\left| x_{1}-x_{2}\right| <\dfrac{\varepsilon }{2x_{2}}とできることがわかります。

しかしながら、上でx_{2}\rightarrow \inftyとすると0となるので、
\left| x_{1}-x_{2}\right| <\delta \Rightarrow \left| x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right| <\varepsilon
となるための\delta >0を作ることができません。

つまり区間(0,\infty)では一様連続ではないとわかります。


ただし、区間(0,1)の場合、
\left| x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right| =\left| x_{1}+x_{2}\right| \left| x_{1}-x_{2}\right| <2\left| x_{1}-x_{2}\right|
とできますので、
\left| x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right| <\varepsilonであるとすると、
\delta =\dfrac{\varepsilon }{2}ととることで、
\left| x_{1}-x_{2}\right| <\delta \Rightarrow \left| x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right| <\varepsilon
が言えます。

つまり、区間(0,1)ならば一様連続だとわかります。

おわり。
その他、例えば\sin xについて調べるのも面白いです。
※下の動画で解説しています。
youtu.be

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