【線形代数#1】行列とは（動画解説付き）

今回から始めて線形代数を学ぶ方向けに”行列を主とした”解説記事を書いていきます。
※ジョルダン標準形までを予定しています。
動画でも解説しますので、よければそちらも見てください。

動画解説（YouTube）
行列とは
行列の成分
行列が等しいとは
列ベクトル＆行ベクトルとは
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おわりに＆おすすめ

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行列とは

まずは行列についてそれぞれの呼び方を確認する。

上のサムネにもあるが、自然数 $m,n$ について縦に $m$ 個、横に $n$ 個、計 $mn$ 個の $a_{ij}$ を並べたものを下のように表す。
$A=\begin{pmatrix} a_{11}, & a_{12},\ldots , & a_{1n} \\ a_{21}, & a_{22},\ldots , & a_{2n} \\ ︙ & ︙& ︙ \\ a_{n1}, & a_{n2},\ldots , & a_{nn} \end{pmatrix}$
これを $(m,n)$ 型行列という。略して、 $(m,n)$ 行列と呼ぶことが多い。

例を挙げると、
$\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ は $(3,2)$ 行列であり、

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$ は $(2,3)$ 行列である。

また、 $m=n$ となるとき、つまり $(n,n)$ 行列であるとき、
$n$ 次正方行列、または単に正方行列と呼ぶことを覚えておこう。

行列の成分

$A=\begin{pmatrix} a_{11}, & a_{12},\ldots , & a_{1n} \\ a_{21}, & a_{22},\ldots , & a_{2n} \\ ︙ & ︙& ︙ \\ a_{n1}, & a_{n2},\ldots , & a_{nn} \end{pmatrix}$
について、 $mn$ 個、それぞれ一つ一つを行列の成分という。
特に、 $a_{ij}$ を $(i,j)$ 成分と呼ぶ。

また、 $i=j$ となる成分、つまり、 $a_{ii}$ を対角成分というので覚えておこう。
※後に、対角行列や上三角行列で使うことになる。

行列が等しいとは

上の復習として『行列が等しい』とはどのようなことを指すのか見てみよう。

$Def$ ：
行列 $A,B$ が与えられたとき、共に $(m,n)$ 行列で、
成分を比較したとき、 $a_{ij}=b_{ij}$ となるならば、この２つの行列は等しいという。
単に $A=B$ としてもよい。

列ベクトル＆行ベクトルとは

最後に、列ベクトルと行ベクトルについて確認しよう。

$Def$ ：
行ベクトルとは横に1列だけ成分を並べた行列のことをいう。
例えば、行列の $i$ 行目において、
$\left( a_{i1},a_{i2},\ldots ,a_{in}\right)$ となるものを $n$ 項の行ベクトルという。
または単に行ベクトルと呼ぶ。

列ベクトルとは縦に1列だけ成分を並べた行列のことをいう。
例えば、行列の $j$ 行目において、
$\begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{n_{j}} \end{pmatrix}$ となるものを $n$ 項の列ベクトルという。
または単に列ベクトルと呼ぶ。

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おわりに＆おすすめ

最後に、大学数学のおすすめ参考書まとめの記事を紹介します。
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≫線形代数（上級者向け）
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