【集合位相】集合論の基礎#1

ここでは、集合論の基礎確認をします。
動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。

動画解説（YouTube）
集合の包含関係
包含関係の性質
紹介
おわりに＆おすすめ

動画解説（YouTube）

※よければチャンネル登録お願いします。

集合の包含関係

集合には、要素を含むことができます。例えば、自然数の集合 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$ は、 $1, 2, 3, ...$ などの要素を含んでいます。
また、空集合 $\emptyset$ は、どの要素も含んでいない集合です。

集合 $A$ と $B$ があるとき、 $A$ が $B$ を「含む」ということを、 $A$ が $B$ の「部分集合である」といい、記号 $A \subseteq B$ で表します。
これは、「 $A$ のすべての要素は $B$ の要素である」という意味になります。

例えば、自然数の集合 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$ と偶数の集合 $E = \{2, 4, 6, \ldots\}$ を考えます。
このとき、 $E$ は $\mathbb{N}$ の部分集合であり、 $E \subseteq \mathbb{N}$ と表せます。
なぜなら、 $E$ の要素である $2, 4, 6, ...$ は、全て自然数でもあるからです。

また、空集合 $\emptyset$ は、どの集合の部分集合でもあると言えます。
すなわち、任意の集合 $A$ について、 $\emptyset \subseteq A$ が成り立ちます。

包含関係の性質

部分集合に関するいくつかの性質を紹介します。

自明な部分集合

任意の集合 $A$ について、 $A \subseteq A$ が成り立ちます。
これは、 $A$ は自身を含んでいるためです。
また、空集合 $\emptyset$ は任意の集合の部分集合であるため、 $A$ がどのような集合であっても、 $\emptyset \subseteq A$ が成り立ちます。

部分集合の推移律

$A \subseteq B$ かつ $B \subseteq C$ が成り立つとき、 $A \subseteq C$ も成り立ちます。この性質を「部分集合の推移律 (transitivity of inclusion)」といいます。

この性質から、ある集合 $A$ に対して、「 $A$ を含むような集合の集合」を考えることができます。
すなわち、 $A$ の部分集合の集合を考えることができます。

部分集合の補集合

集合 $A$ の「補集合 (complement)」とは、ある大きな集合 $U$ の要素のうち、 $A$ に含まれないものからなる集合のことを言います。
つまり、 $U$ に含まれている要素全体から $A$ に含まれる要素を取り除いた残りの要素からなる集合です。補集合は $A$ の補集合とも言われ、 $A^c$ と表記されます。