【集合位相】集合論の基礎#2（和集合と共通部分）

ここでは、集合論の基礎確認をします。
動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。

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集合の間の演算には、和集合と共通部分があります。

2つの集合AとBについて、それぞれの集合に含まれる全ての要素を集めた集合をAとBの和集合といい、記号で表すと次のようになります。

$A\cup B = \{ x\mid x \in A または x \in B \}$

例えば、集合 $A=\{1,2,3\}$ と集合 $B=\{2,3,4\}$ がある場合、これらの和集合は次のようになります。

$A\cup B = \{1, 2, 3, 4\}$
和集合は、両方の集合に含まれる要素を重複して数えないように集められます。

和集合には以下のような性質があります。

交換律
$A∪B=B∪A$

結合律
$(A∪B)∪C=A∪(B∪C)$

分配律※共通部分『∩』については下を参照。
$A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)$

2つの集合AとBについて、両方の集合に含まれる要素から成る集合をAとBの共通部分といい、記号で表すと次のようになります。
$A\cap B = \{ x \mid x \in A かつ x \in B \}$

例えば、集合 $A=\{1,2,3\}$ と集合 $B=\{2,3,4\}$ がある場合、これらの共通部分は次のようになります。
$A∩B=\{2,3\}$

共通部分には以下のような性質があります。

交換律
$A∩B=B∩A$

結合律
$(A∩B)∩C=A∩(B∩C)$

分配律
$A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)$

和集合と共通部分は、集合論において非常に重要な役割を果たしています。
また、これらの演算は数学的な表現や議論に頻繁に用いられるため、しっかりと理解することが求められます。

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