【集合位相】集合の像に関する公式②証明付き『f(A_1∪A_2)=f(A_1)∪f(A_2)』＆『f^{-1}(B_1∪B_2)=f^{-1}(B_1)∪f^{-1}(B_2)』

ここでは、集合の像に関する公式の確認と証明をします。
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集合の像に関する公式
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集合の像に関する公式

$f$ を $X$ から $Y$ への写像とする。また、 $A_{1},A_{2}\subset X$ , $B_{1},B_{2}\subset Y$ とする。
①： $f\left( A_{1}\cup A_{2}\right) =f\left( A_{1}\right) \cup f\left( A_{2}\right)$
②： $f^{-1}\left( B_{1}\cup B_{2}\right) =f^{-1}\left( B_{1}\right) \cup f^{-1}\left( B_{2}\right)$

証明

①の証明をします。
＝＝＝
$f\left( A_{1}\cup A_{2}\right) \subset f\left( A_{1}\right) \cup f\left( A_{2}\right)$ ･･･(ⅰ)を示す。

$y \in f(A_{1}\cup A_{2})$ とすると、
$y=f(x)$ となる $x\in A_{1}\cup A_{2}$ が存在する。

よって、 $x\in A_{1}$ または $x\in A_{2}$ より、
$y\in f(A_{1})$ または、 $y\in f(A_{2})$ である。

したがって、 $y \in f(A_{1})\cup f(A_{2})$ より、(ⅰ)が示された。

$f\left( A_{1}\cup A_{2}\right) \supset f\left( A_{1}\right) \cup f\left( A_{2}\right)$ ･･･(ⅱ)を示す。

$y \in f(A_{1}) \cup f(A_{2})$ とすると、
$y=f(x)$ となる $x \in A_{1}$ が存在する。
または、 $y=f(x)$ となる $x \in A_{2}$ が存在する。

すなわち、 $y=f(x)$ となる $x \in A_{1} \cup A_{2}$ が存在する。

よって、 $y=f(x) \in f(A_{1} \cup A_{2})$ より、(ⅱ)が示された。

証明終

～～～～～
②の証明をします。
＝＝＝
$f^{-1}\left( B_{1}\cup B_{2}\right) \subset f^{-1}\left( B_{1}\right) \cup f^{-1}\left( B_{2}\right)$
を示す。
$x\in f^{-1}(B_{1}\cup B_{2})$ とする。
逆像の定義より、
$f(x) \in B_{1} \cup B_{2}$ である。