【大学数学】有名な問題練習(nのn乗根)＋解答付き#2（大学数学｜解析学）

ここでは、極限の問題練習をします。
動画でも解説していますので、よければそちらも見て下さい。

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問題

$\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt[n] {n}$ を求めよう。

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【高校・大学数学】nのn乗根の極限問題と解き方解説（動画説明欄に解説記事あり） - YouTube

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解き方

logを使う方法もあるが、ここではそれ以外で解くことにする。

$n ＞1$ のとき、 $\sqrt[n] {n} >1$ であることに注意する。

このとき、 $\sqrt[n] {n}=1+a_{n},(a_{n}＞0)$ とおける。

両辺をn乗して、
$\begin{aligned}n=\left( 1+a_{n}\right) ^{n}&=1+na_{n}+\dfrac{n\left( n-1\right) }{2!}a_{n}^{2}+...+a_{n}^{n}&\\ &＞ \dfrac{n\left( n-1\right) }{2}a_{n}^{2}&\end{aligned}$

とできる。

よって、
$a_{n}^{2} ＜\dfrac{2}{n-1}$
である。

$a_{n}＞0$ に注意すると、
$0 ＜a_{n} ＜\sqrt{\dfrac{2}{n-1}}$
であり、
$\sqrt{\dfrac{2}{n-1}}\rightarrow 0,\left( n\rightarrow \infty \right)$
となる。

よって、 $\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$
より、
$\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt[n] {n}=1$ である。

おわり。

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