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【集合位相】集合の像に関する公式①証明付き『f(A_1)⊂f(A_2)』&『f^-1(B_1)⊂f^-1(B_2)』


ここでは、集合の像に関する公式の確認と証明をします。
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集合の像に関する公式

fXからYへの写像とする。また、A_{1},A_{2}\subset X , B_{1},B_{2}\subset Yとする。
①:A_{1}\subset A_{2}\Rightarrow f\left( A_{1}\right) \subset f\left( A_{2}\right)
②:B_{1}\subset B_{2}\Rightarrow f^{-1}\left( B_{1}\right) \subset f^{-1}\left( B_{2}\right)

証明

①の証明をします。
===
A_{1}\subset A_{2}とする・・・(ⅰ)
y \in f(A_{1})とすると、
y=f(x)となるx \in A_{1}が存在する。

(ⅰ)より、x \in A_{1}ならば、x \in A_{2}より、
y=f(x) \in f(A_2)

よって、f(A_1) \subset f(A_2)がいえた。

~~~~~
②の証明をします。
===
B_{1} \subset B_{2}とする・・・(ⅱ)
x \in f^{-1}(B_1)とすると、
f(x)\in B_{1}である。

(ⅱ)より、f(x) \in B_{2}となる。
よって、x \in f^{-1}(B_{2})である。

したがって、f^{-1}(B_{1}) \subset f^{-1}(B_{2})

証明、終わり。

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