ビュフォンの針問題の確率を求めよう

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ビュフォンの針の問題とは？

書や問によって変数の指定にばらつきがあるが、解は同じ。

問：
間隔 $m$ の平行線群が平面上にあり、そこに長さ $l$ の針を落とした時、
平行線と交わる確率を求める。
ただし、 $m>l$ （間隔より針が短くなる）ものとする。

解

図を使う。下図を見てほしい。
f:id:Dodgson:20210927001205p:plain
針が平行線と交わるためには、
図より、 $x$ が $x\leq l\cos \theta$ となる必要がある。

また、 $\theta$ について、針と線のなす角で小さい方であるとする。
このため、 $0\leq \theta\leq \dfrac{\pi }{2}$ となる。

よって、求める確率を $P$ とすると、
$P=\dfrac{l\displaystyle\int ^{\dfrac{\pi }{2}}_{0}\cos \theta d\theta }{\displaystyle\int ^{\dfrac{\pi }{2}}_{0}md\theta }=\dfrac{2l}{m\pi }$

おわり。
上の式は、 $\dfrac{針が取る面積}{間隔mでの全体の面積}$ による。

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