【確率統計】独立（確率）の必要十分条件と条件付き確率の関係

はじめに

この記事では『独立の必要十分条件と条件付き確率の関係』を確認します。

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★この記事について（数学記事のQ＆A - ドジソンの本棚）

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独立とは

『独立』とは、事象 $A,B$ において、
$P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) P\left( B\right)$ が成立することをいう。
確認しておこう。

必要十分条件

『独立』 $\Leftrightarrow P\left( A\right) =P\left( A| B\right)$
上が成立する。
ただし、 $P\left( B\right) \neq 0$ とする。

これを示したい。

証明しよう

スマホ：長い数式は横にscrollして見よう。

事象 $A,B$ が独立のとき、

$P\left( A\right) =\dfrac{P\left( A\right) P\left( B\right) }{P\left( B\right) }=\dfrac{P\left( A\cap B\right) }{P\left( B\right) }=P\left( A| B\right)$

また、 $P\left( A\right) =P\left( A| B\right)$ ならば、
$P\left( A\cap B\right) =P\left( B\right) P\left( A| B\right) =P\left( A\right) P\left( B\right)$
よって『独立』。

示せた。

数学記事まとめ

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