ドジソンの本棚

上の『大学数学』から数学記事検索が簡単にできます

ドジソンの本棚

本サイトはプロモーションを含みます

【確率統計】全確率の定理からベイズの定理へ

≫数学記事まとめはこちら

はじめに

この記事はベイズの定理の確認をします。
前回の続きなので、まだの方はそちらからどうぞ。
全確率の定理と証明【高校大学数学・確率統計】 - ドジソンの本棚

※間違い、ご指摘などがあれば(https://twitter.com/Dodgson_007)のDMにご連絡ください。
お問い合わせフォームからもどうぞ(https://dodgson.hatenablog.com/about

★この記事について(数学記事のQ&A - ドジソンの本棚

◎できれば記事の最後まで読んでくれると助かります。

 

全確率の定理からベイズの定理へ

スマホ:長い数式は横にscrollして見よう。

前回、全確率の定理で、


P\left( B\right) =P\left( A_{1}\right) P\left( B| A_{1}\right) +\ldots +P\left( A_{n}\right) P\left( B| A_{n}\right)
を示した。
今回はこれを使って、よく使うベイズの定理の形まで持っていく。


まず、前回までの記事の復習をしながらベイズの定理を導いてみる。
事象A,Bについて、条件付確率を用いて
P\left( A| B\right) =\dfrac{P\left( A\cap B\right) }{P\left( B\right) }
から乗法公式を用いて
P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) P\left( B| A\right)
なので、
P\left( A| B\right) =\dfrac{P\left( A\right) P\left( B| A\right) }{P\left( B\right) }
と表される。

これをもっと実用的にしたい。
そこで上の定理(全確率)を使うと


P\left( A_{i}| B\right) =\dfrac{P\left( A_{i}\right) P\left( B| A_{i}\right) }{P\left( A_{1}\right) P\left( B| A_{1}\right) +\ldots +P\left( A_{n}\right) P\left( B| A_{n}\right) }
が、成立する。
ただし、A_{i}\cap A_{j}=\phi,標本空間(全事象)\Omegaについて
\Omega =A_{1}\cup \ldots \cup A_{n}の条件下におけるものとする。

これが、ベイズの定理です、OK?

おすすめ勉強本

確率論を勉強するなら
上でも紹介した確率統計演習は役に立つので持っておくべきです。
もっと難しい確率論をやるなら伊藤清の確率論がいいでしょう。
僕もこれで勉強しています。

数学記事まとめ

dodgson.hatenablog.com